浙江2020版高考数学第九章平面解析几何9.8曲线与方程讲义（含解析）

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1、§9.8　曲线与方程最新考纲考情考向分析了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1.f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件吗？提示　是.如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，则曲线C

2、上的点的坐标满足f(x，y)＝0，以f(x，y)＝0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.2.方程y＝与x＝y2表示同一曲线吗？提示　不是同一曲线.3.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹是什么图形？提示　依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2，0)的距离，故点P的轨迹是抛物线.4.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示　曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点

3、；方程组无解，两条曲线就没有交点.题组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　×　)(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　×　)(3)y＝kx与x＝y表示同一直线.(　×　)(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　×　)题组二　教材改编2.[P37T3]已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线答案　D解析　由已知

4、MF

5、＝

6、MB

7、，根据抛物线的定义知，点

8、M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.3.[P35例1]曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______.答案　2解析　在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为

9、x0

10、

11、y0

12、＝

13、x0y0

14、＝2.4.[P37B组T1]若过点P(1，1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为______________.答案　x＋y－1＝0解析　设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x，0)，(0，2y)，连接PM，∵l1⊥l2.∴

15、PM

16、＝

17、OM

18、，而

19、PM

20、＝，

21、OM

22、＝.

23、∴＝，化简，得x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程.题组三　易错自纠5.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线答案　D解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.6.已知M(－1，0)，N(1，0)，

24、PM

25、－

26、PN

27、＝2，则动点P的轨迹是(　　)A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支答案　C解析　由于

28、PM

29、－

30、PN

31、＝

32、MN

33、，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.7.已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜

34、边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是__________.答案　x2＋y2＝4(x≠±2)解析　连接OP，则

35、OP

36、＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).题型一　定义法求轨迹方程例1　已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以

37、PM

38、＋

39、PN

40、＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4

41、>2＝

42、MN

43、.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2).思维升华定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.跟踪训练1　在△ABC中，

44、BC

45、＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且

46、BD

47、－

48、CD

49、＝2，则