2016_2017学年高中数学第三章推理与证明章末分层突破学案北师大版选修

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1、【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章推理与证明章末分层突破学案北师大版选修1-2[自我校对]①合情推理②间接证明③归纳推理④综合法________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2、________________________________________________________________________________________________________________________________________合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤　(1)观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，由此可归纳出的式子为(　　)A．1＋＋＋…＋

3、有相应正确关系为sinα＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα＋sin＋sin＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．【精彩点拨】　(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得．(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．【规范解答】　(1)由各式特点，可得1＋＋＋…＋<.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sinα＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为

4、sinα＋sin＋sin＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有－＝－α＝.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为＋α＝＋α，第三个角为＋α＋＝π＋α，第四个角为π＋α＋＝＋α，即其关系为sinα＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0.【答案】　(1)C　(2)sinα＋sin＋sin(α＋π)＋sin＝0[再练一题]1．已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则(1)函数y＝sin

5、6x＋cos6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y＝sin2nx＋cos2nx(n∈N＋)的值域是__________．【解析】　(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝sin4x－sin2xcos2x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－3sin2xcos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos4x)＝＋cos4x∈.(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1]．【答

6、案】　(1)　(2)[21－n,1]综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用

7、综合法和分析法分别证明．【精彩点拨】　(1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值．(2)分析法：把变形为＝＋求证．【规范解答】　法一：(综合法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，∴＋＋≥8.法二：(分析法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8，只要证＋≥8，只要证＋≥8，即证＋≥4.也就是证＋≥4.即证＋≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，所以原不等式成立．[再练一题]2．(1)已知a，b，c为互不相等的非负数．

8、求证：a2＋b2＋c2>(＋＋)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－＝.【解】　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，因为ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，ab＋ac≥2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以ab＋bc＋ac>(＋＋)，所以a2＋b2＋c2>(＋＋)．(