高中数学 第2章 推理与证明章末分层突破学案 苏教版选修.doc

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1、第2章推理与证明章末分层突破[自我校对]①由部分到整体，由个别到一般②类比推理③演绎推理④由一般到特殊⑤综合法⑥执果索因⑦反证法⑧数学归纳法_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2、______________________________合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤　(2016·温州月考)下面四个图案都是由小正三角形构成的，设第n个图形中有n个正三角形，且所有小正三角形边上黑点的总数为f(n).图21(1)求f(2)，f(3)，f(4)，f(5)；(2)找出f(n)与f(n＋1)的关系，并求出f(n)的表达式.【精彩点拨】　(1)根据图案推导计算f(2)，f(3)，f(4)，f(5)及它们之间的关系.(2)利用(1)推导出的关系归纳出f(n)与f(n＋1)的关系，然后再求f(n)的表

3、达式.【规范解答】　(1)由题意有f(1)＝3，f(2)＝f(1)＋3＋3×2＝12，f(3)＝f(2)＋3＋3×4＝27，f(4)＝f(3)＋3＋3×6＝48，f(5)＝f(4)＋3＋3×8＝75.(2)由题意及(1)知，f(n＋1)＝f(n)＋3＋3×2n＝f(n)＋6n＋3，即f(n＋1)－f(n)＝6n＋3，所以f(2)－f(1)＝6×1＋3，f(3)－f(2)＝6×2＋3，f(4)－f(3)＝6×3＋3，…，f(n)－f(n－1)＝6×(n－1)＋3，将上面n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝6[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋3(

4、n－1)＝6×＋3(n－1)＝3n2－3，又f(1)＝3，所以f(n)＝3n2.[再练一题]1.已知函数y＝sin4x＋cos4x(x∈R)的值域是，则(1)函数y＝sin6x＋cos6x(x∈R)的值域是___________________；(2)类比上述结论，函数y＝sin2nx＋cos2nx(n∈N*)的值域是__________.【解析】　(1)y＝sin6x＋cos6x＝(sin2x＋cos2x)(sin4x－sin2xcos2x＋cos4x)＝sin4x－sin2xcos2x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－3sin2x

5、cos2x＝1－sin2(2x)＝1－(1－cos4x)＝＋cos4x∈.(2)由类比可知，y＝sin2nx＋cos2nx的值域是[21－n,1].【答案】　(1)　(2)[21－n,1]综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式.2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点.分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运

6、用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件.　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.试用综合法和分析法分别证明.【精彩点拨】　(1)综合法：根据a＋b＝1，分别求＋与的最小值.(2)分析法：把变形为＝＋求证.【规范解答】　法一：(综合法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，∴≥4.又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).法二：(分析法)∵a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8，只要证＋≥8，只要证＋≥8，即证＋≥4.也就是证＋≥4.即证＋≥2，由基本不等式可知，

7、当a>0，b>0时，＋≥2成立，所以原不等式成立.[再练一题]2.(1)已知a，b，c为互不相等的非负数.求证：a2＋b2＋c2>(＋＋).(2)用分析法证明：2cos(α－β)－＝.【证明】　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，又因为a，b，c为互不相等的非负数，所以上面三个式子中都不能取“＝”，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，因为ab＋bc≥2，bc＋ac≥2，ab＋ac≥2，又a，b，c为互不相等的非负数，所以ab＋bc＋ac>(＋＋)，所以a2＋b2＋c2>(＋＋).(2)要证原等式成立，只需证

8、：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，①因为①左边＝2cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)si