近世代数 4—6结合律、交换律及分配律

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1、第2讲一、算律§4—6结合律、交换律及分配律（2课时）(AssociativeLawCommutativeLawanddistributivelaw)定义任一个的映射都叫做的一个代数运算。定义若的代数运算，则可称是的代数运算或称二元运算。§4、结合律：代数运算就是二元运算，当元素个数时，譬如同时进行运算：，这已经超出了我们定义的范围，这个符号至少现在是没有意义的。对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果。两两运算的过程叫做加括号。加括号的方法显然不止一种：；；………加括号的方法不一样，其运算的结果是否一样？例1：设“”是整数中的减法：则特取，，而其运算的结果不

2、一样。例2：设“”是整数中的加法：则定义1：设是集合的一个代数运算，如果都有，则称满足结合律。例2、“+”在中适合结合律。例1、“-”在中不满足结合律。思考题：就结合律成立与交换律不成立分别各举一例。上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的。注意：定义2：设中的代数运算为，任取个元素，如果所有加括号的方法最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示。注意：从定义2可知，“”也可能是有意义的。定理1（p11.定理）：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的方法运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用来表示。证明：因是有限数，所以加

3、括号的方法必是有限的。任取一种加括号的方法，往证：对用数学归纳法。当n=2时，结论成立。假设对

4、4：设都是集合，而是的代数运算，而是的代数运算，如果，都有那么称满足左分配律。定理3：设和如上，如果满足结合律，且满足左分配律，那么，都有[论证思路]采用数学归纳法，归纳假设时命题成立。定义5：设和同上，若，若有，那么称满足右分配律定理4：设和同上，若适合结合律，而适合右分配律。那么。注意：定义4与定义5，、定理3与定理4是对称的两对概念，所以定理4的证明可依据定理3的思路解之。作业：②，。二、一一映射，同态及同构§7、1、一一映射（双射。Bijection）在高等代数中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只简要的复习。定义1、设是集合到的映射，且既是单的又是满的，则称是一个

5、一一映射（双射）。定理1：设是到的一个双射，那么由可诱导出（可确定出）到的一个双射（通常称是的逆映射）结论：设是映射，那么：（1）是双射可唯一的确定一个逆映射，使得：；也是的逆映射，且；（2）是双射同时是有限集或同时是无限集。2、变换（transformation）定义2：设是映射，那么称为的变换。当是双射（单射，满射）时，也称为一一变换（单射变换，满射变换）例2§8、同态（Homomorphism）比较代数系统的一种方法定义3：设集合都各有代数运算（称及为代数系统）而是映射，且满足下面等式：（习惯上称可保持运算）那么称是到的同态映射。例3、设，其中中的代数运算就是中的加法，

6、而中的代数运算为数中的乘法。不是同态映射。例4、设与同例3，今设，那么如果同态映射是单射（满射），那么自然称是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定义4：若是到的同态满射，那么习惯上称同态，并记为～；习惯上称是的同态象.定理1.如果是到的同态满射，那么（1）若满足结合律也适合结合律；（2）若满足交换律也适合交换律.证明：（1）任取是满射，又因为中的满足结合律即，但是是同态映射。所以同理可以证明（2）定理2、设和都是代数系统，而映射关于以及都是同态满射，那么：（1）若满足左分配律也适合左分配律；（2）若满足右分配律也适合右分配律。证明：（1）是满射.又因

7、为是关于及的同态映射即.同理可证明（2）。思考题1：在定理1及定理2中，都要求映射是满射，似乎当是同态满射时，才能将中的代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”到中，那么：（1）当不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理1，2成立吗？）（2）即使是满射，“传递”的方向能改变吗？（即中的性质能“传递”到中去吗？）§9、一、同构（isomorphism）定义4、设是到的同态映射，若是个双射，那么称是同构映射，或称与同构，记为。例6、设都是整数中通常的加法“+”，现作，那么是同构映射.事实上，（1）是单射：