浅谈法向量的妙用

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1、浅谈法向量的妙用龙岩二中林红红hBA现行高中数学教科书第二册（下B）第九章提到了法向量的定义：如果向量平面，那么向量叫做平面的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：一、求点到平面的距离。设A是平面外一点，AB是的一条斜线，交平面于点B，而是平面的法向量，那么向量在方向上的正射影长就是点A到平面的距离h，所以※例1：已知棱长为1的正方体A

2、BCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0），＝（0，，1），＝（1，0，1）设平面DBEF的法向量为＝（x，y，z），则有：即令x＝1,y=-1,z=,取＝（1，-1，），则A1到平面DBEF的距离注：此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如和，那么。但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设＝

3、（x，y，z），通过建立方程组求出一组特解。二、求异面直线间的距离。假设异面直线a、b，平移直线a至a且交b于点A，那么直线a和b确定平面，且直线a∥，设是平面的法向量，那么⊥，⊥。所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面的距离，方法同例1。例2：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。解：如图建立空间直角坐标系，则=（-1，1，0），=（1，0，1）连接A1C1，则A1C1∥AC,设平面A1C1D的法向量为＝（x，y，z）,由可解得=（1，1，-1），又=（0，0，1）所以点A到平面A

4、1C1D的距离为，即直线DA1和AC间的距离为。注：这道题若用几何推理，需连结D1B，交△DA1C1和△B1CA分别为E、F，并证明△D1DE≌△B1BE，且EF恰好等于DA1和AC的公垂线段长而且三等分线段D1B，进而求解EF，解题过程几经转化，还需添加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。三、求直线与平面所成的角。直线AB与平面α所成的角θ可看成是向量与平面α的法向量所成的锐角的余角，所以有。例3：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角。解：如图建立空间直角坐标系，

5、＝（0，1，0），＝（-1，0，1），＝（0，，1）设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,由可解得＝（1，0，1）DlBAC设直线AE与平面ABC1D1所成的角为，则所以直线AE与平面ABC1D1所成的角为arcsin。四、求二面角的大小。已知二面角-l-，点A是二面角-l-内一点，过点A向、引垂线，垂足分别为C、B，则AC、AB确定平面ABC，延伸平面ABC，交直线l于点D，根据二面角的平面角的定义，易证∠CDB就是二面角-l-的平面角。∠CDB＝180°-∠CAB，而∠CAB可看成、的法向量、所成的角（或其补角）。例4：已知棱

6、长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小。解：如图建立空间直角坐标系，＝（-1，1，0），＝（0，1，-1）设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由可解得＝（1，1，1）易知＝（0，0，1），所以，＝所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或-arccos。注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。五、证明两平面平行或垂直。若∥，则∥；反之也成立。若

7、⊥，则⊥；反之也成立。例5：已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC。证明：如图建立空间直角坐标系，则＝（-1，1，0），＝（-1，0，-1）＝（1，0，1），＝（0，-1，-1）设，，（、、，且均不为0）设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由可得即解得：＝（1，1，-1）由可得即解得＝（-1，1，-1），所以=-，∥，所以平面A1EF∥平面B1MC。注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明。利用法向量来解

8、决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把