例析三个二次的关系

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1、例析三个“二次”的关系　　　　055350河北隆尧一中焦景会　一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式，是中学数学的重要内容，它们常被称为三个“二次”，高考中出现的三个“二次”的相关联问题，以及运用三个“二次”的相关性解决其它问题，较为复杂，有一定难度，为此举例分析如下：基础知识点：1、二次函数的三种表示形式（1）一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；（2）顶点式：若二次函数顶点坐标为(k,h)，则f(x)=a(x－k)2+h(a≠0)；（3）双根式：若二次函数图象与x轴交点坐标为(x1,0),(x2,0)，则f(x)=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。2、二次函

2、数的性质设f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，则定义式为R，值域为，对称轴为，在是减函数，在是增函数，当b=0时，f(x)是偶函数，当b≠0时，f(x)是非奇非偶函数，特别的，当a＞0时，f(x)在[p,q]上有最大值M，最小值m，设x0=(p+q)，则（1）若＜p，则f(p)=m,f(q)=M；（2）若－≥q，则f(q)=m,f(p)=M；（3）若p≤－＜x0，则f(－)=m，f(q)=M；（4）若x0≤＜q，则f(－)=m，f(p)=M。3、二次方程f(x)=0的实根分布一般情况下，需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=－与区间端点的关系。设x1

3、、x2是实系数二次方程ax2+bx+c=0(a＞0)两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下：（1）；(2)；(3)(4)；(5)有且仅有一个在内或或。3、二次不等式的转化策略（1）f(x)>0的解集为且（2）当时，（点与对称轴越近，则函数值越小）；当时，（点与对称轴越近，则函数值越小）。（3）在上恒成立或或；（4）恒成立或。典型问题分析：例1：（2007广东）已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x－3－a，如果函数y=f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围。解：若，则在区间上没有零点。下面就分三种情形讨论：（1）方程在区间上有重根，此时，解得

4、。当时，的重根。当时，的重根。故当方程在区间上有重根时。（2）在区间只有一个零点且不是重根，此时有。，，，当时，方程在区间上有两个异根，故。（3）方程在区间上有两个异根，因为，对称轴为，应满足（I），（II），解不等式组（I）得，解不等式组（II）得，故方程在区间上有两个异根时。综上a的取值范围。例2：设f(x)=x2－ax+2，当x∈[－1，+∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。解：法Ⅰ：由题意a≤x―2ax2+2，在[―1，+∞]内恒成立，而f(x)=x2―2ax+2=(x―a)2+2―a2在[―1，+∞]上最小值为由a≤f(x)min，知a∈[－3，1]为所求。法

5、Ⅱ：f(x)≥a在[―1，+∞]上恒成立的条件为（1）,（2），综上得。法Ⅲ：由f(x)≥ax2+2≥a(2x+1)，设y1=x2+2,y2=a(2x+1)，作函数y1与y2在[―1，+∞]图象。当y1与y2相切及y2过点(―1，3)时为极限位置，可得a∈[―3，1]。点评：方法Ⅰ：在[―1，+∞]内，f(x)的最小值都大于或等于a；方法Ⅱ：有关二次函数值性大于或等于0的问题，利用；方法Ⅲ：利用数形结合思想。