2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5圆锥曲线的共同性质作业苏教版

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1、2.5圆锥曲线的共同性质[基础达标]1．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由圆锥曲线的共同性质得＝e＝＝2，d为点M到右准线x＝1的距离，则d＝2，所以MF＝4.答案：42．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2,若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．解析：依题意，d2＝－c＝.又BF＝＝a，所以d1

2、＝.由已知可得＝·，所以c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝＝.答案：3．已知椭圆＋＝1上一点P到右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为________．解析：设F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，＝＝，解得PF2＝6，又PF1＋PF2＝2a＝10，解得PF1＝4，故P到它的左焦点距离为4.答案：44．如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．

3、解析：由双曲线方程可知a＝2，b＝，c＝，e＝，设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，设P点坐标为(x，y)，由已知条件知P点在右支上，且PF2＝ex－a＝2，解得x＝.答案：5．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线方程为________．解析：由题意得＝，＝1，得a＝，c＝3，则b2＝6，所以此双曲线方程为－＝1.答案：－＝16．设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P是其右准线上纵坐标为c(c为半焦距)的点，且F1F2＝F2P，则椭

4、圆的离心率是________．解析：如图有P(，c)，设右准线交x轴于H点，∵F2P＝F1F2＝2c，且PH＝c，故∠PF2H＝60°，∴F2H＝c，OH＝＝2c⇒e2＝⇒e＝或－(舍)．答案：7．设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．解：设M为弦AB的中点(即以AB为直径的圆的圆心)，A1，B1，M1分别是A、M、B在准线l上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)＝2eMM1.∵0

5、以AB为直径的圆与椭圆的左准线相离．8．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到左焦点F1的距离是它到右焦点F2距离的2倍，试求点P的坐标．解：由题意可设P点坐标为(x0，y0)，由椭圆的方程＋＝1，可得a＝5，b＝3，c＝4，离心率e＝.所以PF1＝a＋ex0＝5＋x0，PF2＝a－ex0＝5－x0.又PF1＝2PF2，解得x0＝，代入椭圆方程得y0＝±，故点P的坐标为.[能力提升]1．已知椭圆＋＝1外一点A(5,6)，l为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则PA＋d的最小值为________．解析：如图，

6、设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为F(－3,0)，根据圆锥曲线的统一定义有：＝e＝，即PF＝d，所以PA＋d＝PA＋PF，可知当P，F，A三点共线且P在线段AF上时，PA＋PF最小，最小值AF＝10.故PA＋d的最小值为10.答案：102．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且＝2，则C的离心率为________．解析：如图，BF＝＝a，作DD1⊥y轴于点D1，则由＝2，得＝＝，所以DD1＝OF＝c，即xD＝，由圆锥曲线的统一定义得FD＝e(－)＝a－；又由BF＝2FD，得a

7、＝2a－，整理得3c2＝a2.解得e＝－(舍去)或e＝.答案：3．已知A，B为椭圆＋＝1上的两点，F2是椭圆右焦点，若AF2＋BF2＝a，AB的中点M到椭圆的左准线的距离为，试确定椭圆的方程．解：由椭圆的方程可得b＝a，则c＝a，e＝，两准线间的距离为a，设A，B两点到右准线的距离分别是dA，dB，则＝＝，∴AF2＋BF2＝(dA＋dB)＝a，∴dA＋dB＝2a，则AB的中点M到椭圆右准线的距离为a，于是M到左准线的距离为a－a＝，解得a＝1，故椭圆方程为x2＋＝1.4．(创新题)已知椭圆＋＝1上不同的三点A(x1

8、，y1)，B，C(x2，y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列．(1)求证：x1＋x2＝8；(2)若线段AC的垂直平分线与x轴交于点T，求直线BT的斜率．解：(1)证明：由已知得a＝5，b＝3，c＝4，e＝.因为AF＝a－ex1＝5－x1，CF＝a－ex2＝5－x2，BF＝5－×4＝，且AF＋CF＝2BF，所以＋＝，即x1＋x2＝8.(2)因为A(x1，y