证题技巧之三——证明线段或角地和差倍分

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1、证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例4、例5、例6。例1AD是△ABC的中线

2、，ABEF和ACGH是分别以AB和AC为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD证明：延长AD至N使AD=DN则ABNC是平行四边形∴CN=AB=FAAC=AH又∠FAH+∠BAC=180°∠BAC+∠ACN=180°∴△FAH≌△NCA∴FH=AN∴FH=2AD例2、△ABC中，∠B=2∠C，AD是高，M是BC边上的中点。求证：DM=AB证明：取AB的中点N，连接MN、DN则MN∥AC∠1=∠C∠2=∠B∴∠2=2∠1∴∠1=∠DNM∴DM=DN又AN=DN=ND∴DM=AB例3△ABC中，AB=AC，

3、E是AB的中点，D在AB的延长线上，且DB=AC。求证：CD=2CE证明：过B作CD的中线BF则BF∥AC∠A=∠DBF∵AB=AC，E是AB的中点∴BF=AE又DB=AC∴△AEC≌△BFD∴DF=CE∴CD=2CE作业：1、在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，求证：AF=FC2、AB和AC分别切⊙O于B和C，BD是直径。求证∠BAC=2∠CBD3、圆内接△ABC的AB=AC，过C作切线交AB的延长线于D，DE垂直于AC的延长线于E。求证：BD=2CE例4从平行四边形

4、的钝角顶点A向BC边作垂线，垂足为E，BD交AE于F且FD=2AB。求证：∠ABD=2∠DBC证明：取FD的中点M，连接AM，则AB=FM=MD=AM∴∠1=∠2∠3=∠4∠3=∠1+∠2=2∠2∠2=∠5∠3=2∠5∴∠4=2∠5即∠ABD=2∠DBC例5若圆内接四边形的对角线互相垂直，则圆心到四边形一边的距离等于这边的对边的一半。分析：从图上看，OE与AD之间没有任何关系，这时我们就要想法找一个量与他们俩都有关系的量。借助这个量进行等量传递。但这个量也找不到。于是我们就想法造这个量。证明：过B作直径

5、BF，连接CF。则OE=CF在△DHC和△FCB中∠DHC=∠FCB∠BDC=∠F∴∠1=∠2∴AD=CF∴AD=2OE例6E是正方形ABCD的CD边的中点。F是EC的中点。求证：∠DAE=∠FAB证明：作∠FAD的平分线交BC于H，交DC的延长线于G则∠1=∠2=∠G∴FA=FG设正方形的边长为a则AF2=AD2+DF2AF=a=FGCG=FG-FC=a∴△ABH≌△GCH≌△ADE∴∠3=∠2∴∠DAE=∠FAB作业：4、ABCD是正方形，P是CD上一点，AP=PC+BC。M是CD的中点。求证：∠B

6、AP=2∠MAD5、△ABC中，AB=AC。D是AC的中点，DE平分∠ADB，交AB于E。圆ADE交BD于F。求证：①BF=2EF②BF=2AE6、求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍。二、证明三倍以外的倍分问题1、方法：①当是偶数倍时，采取折半再折半或折半传递。②当是奇数倍时采用传递或减一传递。例1△ABC中，E是AB的中点。D是AC上一点，且CD=DA。BD交CE于F。求证：FD=BE证明：作EG∥AD∴EG=CDBG=GD△GEF≌△DCF∴FD=BE例2△ABC中，∠C是钝角

7、，EC垂直于BC交AB于E且BE=2AC。求证：外角∠ACD=3∠B证明：作CF∥AB则∠1=∠B∠2=∠A取BE中点G,连接CG则∠B=∠4∠A=∠3∴∠3=2∠4=∠2∴∠ACD=∠2+∠1=3∠B例3E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F在AD上，且AF=AD，FE交AC于G。求证：AG=AC证明：延长FE交CB的延长线于H则△AFE≌△BHE∴AF=BH∵AD=3AF∴CH=4AF∵△AFG∽△CHG∴CG=4AG∴AG=AC例4AB是⊙O的直径。弦CD交AB于P，且PC=PO。求证：=证明：

8、连接OC、OD则∠1=∠C=∠D∠3=∠1+∠C=2∠1∠BOD=∠3+∠D=3∠1∴=作业：7、△ABC中，AC垂直BC，AD∥BC交BD于D，BD交AC于E且ED=2AB。求证：∠ABE=∠ABC8、延长⊙O的半径OA到B，使AB=OA，CD切⊙O于D，且CD不经过AB之间。BC⊥CD于C。求证：∠ABC=∠CAD9、AB弧=120°，PA、PB切⊙O于A、B。⊙O，分别切AB弧、PA、PB于C、D、F。求证：⊙O，的周长=⊙O的周长。