谈线段的和差倍分问题的证明.doc

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1、谈线段的和差倍分问题的证明一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。例1如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC中点.求证：DM=AB分析：如图，因为AB等于△ABC的中位线NM的长，所以原命题就转化为证明DM＝NM。∵DN为Rt△ADC斜边上的中线，∴DN=NC；∴∠2=∠C，又∵2∠C=∠B=∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C，∴DM=MN，问题得证。说明：证明线段的和差倍分问题

2、，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。例2如图，在△ABC中，BD=FC，FG∥DE∥BA，D、F在BC上，E、G在AC上.求证：F

3、G=AB-DE分析：本题的关键在于构造一条线段，使之等于（AB-DE）,如图，在AB上载取线段AH=DE，则AB-DE=BH，从而把原命题转化为证明FG=BH的问题，进而通过证△BHD≌FGC，使原命题得证。例3如图，P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，AQ平分∠PAD.求证：AP=BP+DQ.证明：延长PB至E，使BE=DQ，∵四边形ABCD是正方形，∴BA=AD，∠EBA=∠QDA=90°∴△ABE≌△ADQ，∴∠E=∠4，∠3=∠1，∵∠1=∠2，∴∠3=∠2，∴∠PAQ=∠BAQ=∠4∴∠E=∠PAE，∴PE=AP，既BP+BE=AP，∴BP+DQ=AP说明：例

4、2通过“分割”的形式构造从两条线段之差，例3通过“添补”的形式构造从两条线段之和，从而将原命题转化为两条线段的问题，值得注意的是：在运用“割补法”证明线段的和差倍分关系时，是运用“添补”的形式构造线段的“和”或“倍”，还是运用“分割”的形式构造线段的“差”或“几分之几”，这不能取决于原命题的和差倍分形式。因为“和”与“差”，“倍”与“分”是可以互相转化的。因此，我们在选择割补的形式时要结合图形和题目的已知条件，即所割补的线段不是“孤立”的，而应能够与原来的图形产生联系。从以上三个例题可知，在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促

5、使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。例4如图，△ABC中，∠BAC=90°，AE是经过点A的一条直线，交BC于F，且B、C在AE在的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：DB=DE+CE。分析：通过分析题目的已知条件可知：△ABD≌△CAE,从而得AD=CE，则DE+CE=AE，而BD=AE，原命题得证。利用截长补短加倍折半法证线段的和差倍分对于线段的和差倍分在几何论证中视为简单的一类,但方法选得不当其证明常带来困难

6、,这里介绍利用截长补短,加倍折半法转化为证明线段的相等,特举例说明。例1?在梯形ABCD中,AB?DC,ADAB,!BCD平分线CM过AD的中点M,求证:AB+CD=BC。图(1)证一:如图(1)在CB上截取CN=CD,连结MN,则∀CDM#∀CNM,∃!3=!DMN=MD=MA,连结MB则Rt∀BMN#Rt∀BMA∃NB=AB即AB+CD=CN+NB=BC图(2)这里用的截长法。证二:如图(2)延长BA,CM交于N%AB?CD则Rt∀CDM#Rt∀NAM∃CD=NA,!1=!3又!1=!2?即!2=!3从而BN=BC即AB+CD=BC&36&∋数学这里用的补短法。图(3)

7、例2?在∀ABC中,AB=AC,E是AB的中点,在AB延长线上取一点D,使BD=BA,求证:CD=2CE。证一:如图(3)取CD的中点F,连接BF。%B和F都是中点。∃BF?AC,且BF=12AC=12AB=BE又%!2=!ACB=!1,且BC=BC∃∀BCE#∀BCF图(4)∃CF=CE即12CD=CE∃CD=2CE,这里用的折半法。证二:如图(4)延长CE一倍到F,使CF=2CE,连结AF,BF%AE=BE,CE=EF∃四边形ACBF为平行四边形∃FB?AC=AB=BD又!CBD=!ACB+!CAB=!ABC+