2016_2017学年高中数学第三章推理与证明3.3.2分析法学案北师大版选修

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1、3.2　分析法1．了解分析法的思维过程、特点．(重点)2．会用分析法证明数学问题．(难点)[基础·初探]教材整理　分析法阅读教材P61～P63，完成下列问题．1．分析法的定义从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．2．分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图336表示为：→→→…→图3363．综合法和分析法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构

2、特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法就是从结论推向已知．(　　)(2)分析法的推理过程要比综合法优越．(　　)(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．(　　)【解析】　(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题

3、都可使用分析法证明．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：_________

4、_________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：__________________________________________________________[小组合作型]应用分析法证明不等式　已知a>b>0，求证：<－<.【精彩点拨】　本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分

5、条件．【自主解答】　要证<－<，只需证<<.∵a>b>0，∴同时除以，得<1<，同时开方，得<1<，只需证＋<2，且＋>2，即证<，即证bb>0，∴原不等式成立，即<－<.1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论⇐…⇐…⇐…已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．[再练一题]1．(2016·合肥高二检测)已知a>0，求证：－≥a＋

6、－2.【证明】　要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋，即证2≥2，即a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋4，只需证2≥.只需证4≥2，即a2＋≥2.上述不等式显然成立，故原不等式成立．用分析法证明其他问题　(2016·合肥高二检测)求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．【精彩点拨】　【自主解答】　如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证

7、MM′

8、＝

9、AB

10、.由抛物线的定义有

11、

12、AA′

13、＝

14、AF

15、，

16、BB′

17、＝

18、BF

19、，所以

20、AB

21、＝

22、AA′

23、＋

24、BB′

25、，因此只需证

26、MM′

27、＝(

28、AA′

29、＋

30、BB′

31、)．根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．[

32、再练一题]2．已知＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．【证明】　要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，只需证＝3，只需证＝3，只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－.∵＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，即2tanα＝－1.∴tanα＝－显然成立，∴结论得证．[探究共研型]综合法与分析法的综合应用探究1　综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎