初中数学教学论文 例析分类讨论思想在年中考题中的应用

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1、例析分类讨论思想在2010年中考题中的应用当所面临的问题包含有多种可能情形难以统一处理时，就需按所有可能出现的各种情况进行分类讨论，得出各种情形的相应结论，最后综合得到问题的正确答案，像这样解题的数学思想称为分类讨论思想。怎样利用分类讨论思想解题呢？下面本文结合2010年全国各省市中考题归纳八类需要运用分类讨论思想解题的重要题型，供同学们参考：第一类：由字母系数引起的分类讨论例1（2010年安徽芜湖）关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5解：当即时，原方程是关于x的一元一次方

2、程，有；当时，原方程是关于x的一元二次方程，欲使方程有实数根，就要满足解得a≥1，而也在a≥1的范围内故选A小结：方程、不等式及函数中如果含有字母系数，则需要运用分类讨论思想来处理。⑴方程中含有参与运算的字母系数：①对于形如的一元一次方程其解的情况如下：当时，有唯一解为；当时，有无数多个解；当时，无解。②对于形如的方程，需要判断是否为0，并在此基础上运用根的判别式加以讨论研究。⑵对于形如的一元一次不等式，当时，解集为；当时，解集为；当时，若，无解；若，解为任意实数。⑶一次函数的斜率、二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，对图像的形状、大小以及位置都起

3、着决定性的作用，对这些量的讨论是函数问题中永恒的话题。第二类：由分母是否为0引起的分类讨论例2（2010年新疆）已知为非零实数，且满足，则一次函数的图像一定经过（　）A第一﹑二﹑三象限　　　　　　　　　　　　　　B第二﹑四象限C第一象限　　　　　　　　　　　　　　　　　　D第二象限解：①若，则由等比定理性质得：，从而有，此时的图像经过第一﹑二﹑三象限②若，则有，，，此时从而知的图像经过第二﹑四象限综合①和②得，的图像一定经过第二象限，故选D小结：分式方程、代数恒等式变形以及一些综合题型中常会出现由分母是否为0引起的分类讨论，此时要注意“分而治之”。第三类

4、：由绝对值引起的分类讨论例3（2010年湖北荆州）函数，．当时，x的范围是（）A.．B．C．或x＞2D．x＞2解：当时，，由得，解得x＞2；当时，，，不满足；当时，，由得，解得综上得，或x＞2，故选C小结：解决有关绝对值问题的方法通常是利用去绝对值法则进行分类讨论，将绝对值符号消去，其去绝对值法则如下：＝第四类：由存在特殊情形引起的分类讨论例4（2010年广东佛山）四个数据的平均数与中位数相等，则等于（）A.8B．10C．12D8或12解：依题意，本题可分以下三种情况进行讨论：①将这组数据按从小到大排列为时，则有，解得；②将这组数据按从小到大排列为时，则

5、有，解得；③将这组数据按从小到大排列为时，则有，解得；综上得或，故选D小结：当题目中含有不确定取值的字母时，应注意考虑其特殊情况，利用分类讨论思想求解，从而避免漏解。第五类：由边、点的不确定引起的分类讨论例5（2010年浙江温州）用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是()．A．5B．6C．7D8．解：用5、7、8根火柴，可分别排成如上图所示的梯形。当用6根火柴时，可分以下三种情况讨论：①当上底为两根，两腰一边为一根时，则下底必为两根，这时所围成的图形是平行四边形；②当上底为一根，两腰一边为两

6、根时，则下底必为一根，这时所围成的图形是平行四边形；③当上底为一根，两腰每边为一根时，则下底必为三根，这时可作如上图的辅助线，根据“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可判断该三角形ABC不存在。所以，当用6根火柴时，所有情况均不能围成梯形，故选B。小结：由于边、点以及图形的形状等的不确定，需要对问题进行分类讨论。如当等腰三角形中的底与腰不确定时，需要分情况进行讨论；如当全等三角形和相似三角形的对应点不确定时，需要分情况进行讨论。在进行分类讨论时，要抓住问题的实质，以便更快找到问题破解的关键点和突破口。第六类：由应用题中的限制条件引起的分类讨

7、论例6（2010年广东茂名）我市某商场为做好“家电下乡”的惠农服务，决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机108台，其中甲种电视机的台数是丙种的4倍，购进三种电视机的总金额不超过147000元，已知甲、乙、丙三种型号的电视机的出厂价分别为1000元/台、1500元/台、2000元/台．(1)求该商场至少购买丙种电视机多少台？(2)若要求甲种电视机的台数不超过乙种电视机的台数，问有哪些购买方案？解：(1)设购买丙种电视机为台，则购买甲种电视机为台，购买乙种电视机为台，依题意得：解得因此，该商场至少购买丙种电视机10台⑵依题意得：，解得，结合(1)得又

8、∵为正整数∴因此有以下三种方案：方案一：购进甲、乙、丙三种不同型号的电视机分别为