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时间:2019-04-03
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1、基本不等式典型例题1、两个不等式:当且仅当时,等号成立;当且仅当时,等号成立。2、常用变形:例1、1.若实数满足,求的最小值2.若,求的最小值例2、已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.解:利用“1的代换”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x>0,y>0,∴≥2=6.当且仅当,即y=3x时,取等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.变式训练1.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值2.已知为正实数,且,则的最小值为例3、已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的
2、最大值;解:∵0<x<,∴1-3x>0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.变式训练1.当x>-1时,求f(x)=x+的最小值.2.当时,求的最大值3.求函数y=的最小值.例4、求f(x)=3+lgx+的最小值(0<x<1)解:∵0<x<1,∴lgx<0,<0.∴->0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+(0<x<1)的最小值为-1.变式训练1.已知x<,求函数y=4x
3、-2+的最大值.2.求函数y=x+的值域例5、1.已知为不全相等的正实数,求证:2.已知,求证3.设,且,求证1.若,且,则下列不等式中,恒成立的是( ).A. B. C. D.2.已知,则的最小值是( ).A.2 B. C.4 D.53.下列结论正确的是( ).A.当且时,; B.当时,;C.当时,的最小值为2; D.当时,的最小值为24.设,若是与的等比中项,则的最小值为( ).A.8 B.4 C.1
4、 D.5.则的最大值是()A . B.1 C.2 D.46.若,则()A.有最小值2B.有最大值2C.有最小值-2D.有最大值-2
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