基本不等式典型例题

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1、基本不等式典型例题1、两个不等式：当且仅当时，等号成立；当且仅当时，等号成立。2、常用变形：例1、1.若实数满足，求的最小值2.若，求的最小值例2、已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.解：利用“1的代换”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.当且仅当，即y=3x时，取等号.又+=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.变式训练1.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1，x+y的最小值为18，求a,b的值2.已知为正实数，且，则的最小值为例3、已知0＜x＜，求函数y=x(1-3x)的

2、最大值;解：∵0＜x＜,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］2=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=时，函数取得最大值.变式训练1.当x＞-1时，求f(x)=x+的最小值.2.当时，求的最大值3.求函数y=的最小值.例4、求f(x)=3+lgx+的最小值（0＜x＜1）解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.∴(-lgx)+(-)≥2=4.∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.当且仅当lgx=,即x=时取得等号.则有f(x)=3+lgx+(0＜x＜1)的最小值为-1.变式训练1.已知x＜，求函数y=4x

3、-2+的最大值.2.求函数y=x+的值域例5、1.已知为不全相等的正实数，求证：2.已知，求证3.设，且，求证1.若，且，则下列不等式中，恒成立的是(   ).A.     B.      C.     D.2.已知，则的最小值是(   ).A.2             B.            C.4            D.53.下列结论正确的是(    ).A.当且时，；   B.当时，；C.当时，的最小值为2；     D.当时，的最小值为24.设，若是与的等比中项，则的最小值为(    ).A.8           B.4          C.1  

4、       D.5.则的最大值是（）A .        B.1       C.2  D.46.若，则（）A．有最小值2B.有最大值2C.有最小值-2D.有最大值-2