二次函数典型题解题技巧

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1、二次函数典型题解题技巧（一）有关角1、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由.思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD和x轴平行（过点作轴的平行线与抛物线交于点）对于第（2）问，比较角的大小a、如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就清楚了b、如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大

2、小关系就确定了c、如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大小d、除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等e、可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M、C、A、

3、B这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d这一条解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），∴设点D的坐标为(x，3)．∵直线y=x+5经过D点，∴3=x+5．∴x=－2．即点D(－2，3)．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），又∵直线y=x+5经过M点，∴y=－1+5，y=4．即M（－1，4）．∴设抛物线的解析式为．∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．即抛物线的解析式为．…

4、………3分（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．由（1）中抛物线可得点A（－3，0），B（1，0），∴AB=4，AO=CO=3，AC=．∴∠PAB＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=．∴PC=AC－PA=．在Rt△BPC中，tan∠BCP==2．在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tan∠NAM==2．∴∠BCP＝∠NAM．即∠ACB＝∠MAB．后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间

5、的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、如图，抛物线，与轴交于点，且．（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；（III）直线交轴于点，为抛物线顶点．若，的值．思路点拨

6、：（II）问题的关键是直角，已知的是AC边，那么AC边可能为直角边，可能为斜边，当AC为斜边的时，可知P点是已AC为直径的圆与坐标轴的交点，且不能与A、C重合，明显只有O点；当AC为直角边时，又有两种情况，即A、C分别为直角顶点，这时候我们要知道无论是A或者C为直角顶点，总有一个锐角等于∠OCA（或Rt△PAC和Rt△OAC相似），利用这点就可以求出OP的长度了（III）从题目的已知条件看，除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数，那么这两个角要么全是特殊角（30°，45°，60°，90°），在这种情况

7、下，他们的差才有可能不是特殊的角，很明显，这两个角不是特殊角，那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下），就是他们的差是特殊角，再联系到∠ABC=45°，可知，这两个角的差就是45°，那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE，再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明△BCE是一个直角三角形且与△BAD相似解：（I），且．．代入，得（II）①当可证∽．②同理:如图当③当综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，．（III）．．∴．．．又．．．（二）线段最值问题

8、引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短，无论是两点之间选段最短还是垂线段最短，它们的本质就是要线段首尾相接，或者说线段要有公共端点，如果我们公共端点，我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题，学过的有三角形三边之间的关系，两边之差小于第三边，我们可以利用这个来求第三边的最大值，还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C