建模论文-小行星轨道问题

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1、论文题目：小行星轨道问题姓名：陈灿斌学号：0121111360303专业：电气1104班任课教师：陈建业一．一．摘要本文针对小行星轨道问题，根据开普勒定律及二次曲线知识建立线性方程组，通过Matlab编程求解线性方程组，确定这颗小行星的轨道，椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点，利用椭圆弧长近似公式推导出轨道周长。关键词：开普勒定律二次曲线线性方程组二．问题重述据报道：2013年2月16日有一颗直径大约50米的小行星与地球擦肩而过，小行星撞击地球危险可能再度引起公众的关注。要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，需要在轨道平面内建立以太阳为原

2、点的空间直角坐标系，然后在不同时刻对小行星进行观测，以确定其轨道。已知在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测，表B给出了相应的观测数据。表B：某小行星的5次观测数据（单位：天文单位）12345X坐标5.7646.2866.7597.1687.480Y坐标0.6481.2021.8322.5263.360注：一个天文单位等于地球到太阳的平均距离，即米。你所要作的工作是：确定这颗小行星的轨道，如椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点，以及椭圆轨道的周长等。三．模型假设1.小行星轨道方程满足开普勒第一定律；2.以上数据真实有效。4四．问题分析

3、与模型建立（1）求解椭圆一般方程的系数由开普勒第一定律知，小行星的轨道为椭圆，现需要建立椭圆方程()进行求解。天文学家确定小行星运动的轨迹时，他的依据是轨道上5个点的坐标数据。由椭圆轨道属于二次曲线，是一般方程。为了确定方程中的5个待定系数，需要将上述5个点的坐标代入上面的方程,得：，写成矩阵的形式即AX=b，A=X=b=（2）求解转化为标准方程后的系数为了知道小行星轨道的一些参数，还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式：.4根据二次曲线理论，可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下：.,,,为C的特征值。所以，椭圆长半轴：；椭圆短半轴：

4、；椭圆半焦距：；近日点h=a-c；远日点H=a+c。五．计算求解（1）利用matlab软件求解：首先由5个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵：求：X0=[5.7646.2866.7597.1687.408];Y0=[0.6481.2021.8232.5263.360];A=zeros(5);X0(1);fori=1:5A(i,1)=X0(i)^2;A(i,2)=2*X0(i)*Y0(i);A(i,3)=Y0(i)^2;A(i,4)=2*X0(i);A(i,5)=2*Y0(i);end;A得：A=33.22377.47010.419911.52

5、801.296039.513815.11151.444812.57202.404045.684124.64333.323313.51803.646051.380236.21276.380714.33605.052054.878549.781811.289614.81606.7200又知A*X=B，求解B:B=[-1-1-1-1-1]';X=AB4得：X'=[0.0508-0.03510.0381-0.22650.1321]即（a1，a2，a3，a4，a5）=（0.0508，-0.0351，0.0381，-0.2265，0.1321）由；，用m

6、atlab计算:fori=1:5a(i)=X(i);endC=[a(1)a(2);a(2)a(3)]det(C)得：C=0.0508-0.0351-0.03510.0381=7.0286e-004求特征值:[vd]=eig(C,'nobalance')得d=0.0088000.0801所以特征值=0.0088，=0.0801.求D4D=[a(1)a(2)a(3);a(2)a(3)a(5);a(4)a(5)1]det(D)得D=0.0508-0.03510.0381-0.03510.03810.1321-0.22650.13211.0000=0.

7、0010于是，椭圆长半轴a=12.7158，短半轴b=4.2147，半焦距c=11.9970。小行星近日点距离和远日点距离分别为h=a-c=0.7188和H=a+c=24.7128。（2）轨道周长计算由上知椭圆方程为利用椭圆弧长近似公式L=π[1.5(a+b）-√ab]得L=56.7769六．参考文献【1】张泽湘二次曲线上海教育出版社【2】吴传生线性代数（第二版）高等教育出版社【3】Matlab7.0从入门到精通刘保柱人民邮电出版社4