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1、格林公式及其应用一元函数积分学:§17-1格林公式及曲线积分与路径无关的条件１ 格林公式的内容格林公式是高等教学中一个著名的计算公式,它建立了曲线积分与二重积分之间的联系．它的条件,结论叙述如下： １.１ 单连通区域 设为一平面或空间区域,对于内任意一条闭曲线,总可以在内连续的收缩成内一点则称为单连通区域,否则称是多连通区域． １.２ 格林公式Ⅰ 设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的可求长曲线是并集,则 其中表示边界是正向,若是的一条封闭曲线,则定向如下：当人沿
2、进行时,使区域在它的左边,或在上一点作一右手系标架使指向的外法线方向,则的指向即为的方向． １.３ 格林公式Ⅱ 设是平面有界闭域,是有限条封闭的彼此不相交的逐段光滑曲线则 为边界曲线的外法线方向．例1:计算椭圆所围面积A.解::常数方程例2:计算,其中是(1)使所含区域D不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向(2)含原点但不径原点解:(1)满足GreenTh连续条件(2)不满足GreenTh连续条件选取适当小的,作圆周:(使全部含于所围区域)记围成D,于是在内,格林公式成立故法一:右式法二:右式二
3、、平面上单边通区域内曲线积分与路径无关的等价条件概念:曲线积分与路径无关:图示(且公与有关)定理:和平面单连通域D上具连续一阶偏导,则如下四条件等价.(1)(2)分段光滑闭曲线(3)积分在D内与路径无关,公与A,B位置有关(4)存在单值函数,使它全微分即证明:同证,下证,,存在函数使则于是由条件(连续)故曲线积分仅与,有关,记(说明右式是函数)下证同理,故推出公式:图示AC:CB:曲线积分计算公式原函数计算公式特可证------曲线积分的N-2公式例3:计算三路径.解:图示例4:计算.是的上半圆周.从到解:.I
4、值与路径无关,则例5:.:例5.解一::不能用与路径无关的相关公式.非闭:才能用Green公式.原始方法(第二类曲线积分)图示几乎不可能解二:(设法满足二之一:闭),设:(从A到O直线段),则构成闭曲线,顺进针.所围闭域D:,由Green公式(即)而故.解三:(设法满足二之另一,)设则与路径无关.例6:(得用曲线积分求)的原函数.并求.(其中是从A(1,0)到B(2,2)的曲线段)解:例7设是任意一条分段光滑的闭曲线，求证证明令则在全，这个单连通区域内成立．故由格林公式可得．(2)当考虑积分时，若为平面区域内一
5、条简单闭曲线，而区域为含有“点洞”的复连通区域，函数、除点外，处处有连续偏导数存在，且满足．当闭路不包围点时，此曲线积分的值为零．当闭路包围点时，一般说来，此线积分不再为零，积分值为一常数，具体求法如下：只要选择一个适当小的包围点的正向闭曲线来将点扣掉，则曲线积分在以和围成的复连通区域内仍可用格林公式计算，并有结论：其中为闭路正向．#综上可知,格林公式可使曲线积分的计算大大简化,因此在场论、流体力学、热力学、电学及微分方程等学科中得到广泛的应用.
