本科毕业论文-同余在中学数学竞赛中的应用

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1、分类号O12陕西师范大学学士学位论文同余在中学数学竞赛中的应用作者单位　陕西师范大学继续教育学院指导老师　许汪涛作者姓名　于小强专业、班级　2006级数学专升本提交时间　2007年11月同余在中学数学竞赛中的应用于小强（继续教育学院2006级）指导老师：许汪涛[摘要]本文写的是自己在做题中得出的一些关于同余的性质。有些给出了证明，谈了应用，有些只给出了证明。[关键词]数论同余应用数学竞赛[正文]一准备知识1定义：设m是一个给定的正整数，如果两个数a,b用m除所得的余数相同，则称a,b对模m同余。记为a≡b(modm)。2同余的基本性质（1）a≡b(

2、m)m︱a－b；（2）若a≡b(m)b≡c(m)则a≡c(m)；(3)若a≡b(m),c≡d(m),则a±c≡b±d(m)ac≡bd(m)；(4)ac≡bc(m)c≠0,则a≡b()，特别地，若（m,c）＝1则a≡b(m)；(5)a≡b(m)而d∣m,(d＞0)则a≡b(d)；(6)若a≡b(m),c是正整数,ac≡bc(m)；(7)若a≡b(m),若a≡b(m),则a≡b([m,m]),特别地，若（m,m）＝1,则a≡b(mm)；(8)若a≡b(m),则（a,m）＝(b,m)；(9)若a≡b(m),i=1,2,…n,则ax+ax+…ax+a≡bx

3、+bx+…bx+b(m),特别地，设=cx+cx+…cx+c(cz),若a≡b(m),则≡(m)；（10）若≥1，（a,m）＝1，则存在使得≡1(m)，我们把称为是对模的逆，记作(m)3定理（1）欧拉定理若（a,m）=1,则a≡1(m).(2)费尔马小定理若p为素数，则a≡a(p).二主要结论及应用命题1一个数和它各位上的数字之和关于模9同余。证明任一个正整数aa…aa(十进制表示)也可表示为a+a+…a+a,而a+a+…a+a≡a+a+…+a+a(),a+a+…+a+a为它的各位数字之和.命题得证例1设十进制数的各位数字之和为A，而数A的各位数字

4、之和为B，求B的各位数字之和。解如果n有k位数，那么它的各位数字之和最大为9K，注意到＜＝=因此，至多有17777位数。所以A＜９×17777=159993同理可得B＜5×9=45，并且B的各位数字之和C＜3+9=12由命题1≡由费尔马小定理≡1应用这个结果并且注意到=我们有≡≡≡7而小于12并且和7同余以9为模的数只有7。因此C=7.命题1在实际应用中有很大的用处。①能知道一个数被9除的余数。②判断乘法算式的对错③计算像例1这一类题。命题2如果一个等式的两边都取整数值，则等式的两边必对任意非零整数都同余。即：，均取整数值，且=，k为任意非零整数，

5、则≡．例2设是异于2，5，13的任一正整数，求证在集合{2，5，13，d}中可以找到两个不同元素a,b使得ab-1不是完全平方数(1986年第二十七届国际数学奥林匹克竞赛第一题)证因为2×5-1=2×13-1=5×13-1=所以我们要证集合{2d-1,5d-1,13d-1}有一个数不是完全平方数。用反证法。假设所有的数都是完全平方数，2d-1=5d-1=13d-1=显然a是奇数，不妨设a=2x-1那么d=2x(x+1)+1因此d≡1(4)，而b,c是偶数，故可设b=2yc=2z由于d====因此z,y的奇偶性相同，所以z-y≡0(4)而≡矛盾。命题

6、3记整数的个位数为，为整数，则=．证明：事实上的个位数为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9的个位数为0、1、4、9、6、5、6、9、4、1；的个位数为0、1、8、7、4、5、6、3、2、9；的个位数为0、1、6、1、6、5、6、1、6、1；的个位数为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；的个位数为；0、1、4、9、6、5、6、9、4、1；的个位数为；0、1、8、7、4、5、6、3、2、9；的个位数为；0、1、6、1、6、5、6、1、6、1；的个位数为；0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；……………………………特别地==．例3(第七届美国数

7、学邀请赛第9题)欧拉的一个猜想在1960年被美国的数学家推翻，他们证实了存在正实数，使得1335+1105+845+275=，求的值。解：分以下几步解决问题：1°先对进行初步估值∵1.335＜10，1.15＜10，0.845＜1，0.275＜1∴1335+1105+845+275＜2005∴133＜＜2002°求出的个位数∵1335+1105+845+275=有命题3可知=∴3°求的十位数由结论2，等式两边对3同余∴1335+1105+845+275≡n5(3)而1335+1105+845+275≡15+25+05+05≡0(3)∴能被3整除∴能被

8、3整除∴=144或174仍由结论2，等式两边对7同余而1335+1105+845+275≡2(7)∴n5≡2(7)又∵14