毕业论文--差商、差分概念及其牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式

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1、差商、差分概念及其牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式青海师范大学数学系09C班摘要：学习了插值多项式的存在性与唯一性，通过插值多项式求法并建立建立了一般节点情形下推广到差商，推导出差商的性质与差商的概念，在此基础上，利用差商构造函数插值。通过节点推出差分的性质与概念，讨论了一般多重差商问题与多重差分问题，并计算出差商与差分的关系，而同时利用差商与差分推导出牛顿插值多项式公式与拉格朗日插值多项式公式、在实际当中应用牛顿插值多项式与拉格朗日插值多项式来解决一些问题，在计算方法中带来方便、快速简捷。关键词：差商、

2、差分、牛顿插值多项式、拉格朗日插值多项式Abstract:Studytheexistenceanduniquenessoftheinterpolationpolynomial,Bypolynomialinterpolationmethodandtheestablishmentofthegeneralnodecaseextendedtothedifferencequotient,theconceptofthenatureofthedifferencequotientderivationtravel,Onthi

3、sbasis,thedifferencequotientconstructorinterpolation.Nodelaunchedthenatureandconceptofthedifferential,Generalpoormultipleproblemswithmultipledifferential,andcalculatetherelationshipbetweenthetravelandthedifference,Whileatthesametimetakeadvantageofthediffer

4、encequotientdifferentialderivationoftheNewtoninterpolationpolynomialformulawithLagrangeinterpolationpolynomialformula,IntheactualapplicationofNewtonpolynomialinterpolationLagrangeinterpolationpolynomialtosolvesomeoftheproblems.Calculatedconvenient,fastande

5、asyKeywords:Differencequotient.Difference.Newtoninterpolationpolynomial.LagrangeInterpolationpolynomial1、差商及其性质1.1差商的定义：定义1.1称=为函数关于点的零点差商，称=为函数关于的一阶差商。由定义可以看出，一阶差商差商实际上函数值的增量与自变量之比；函数在区间上的平均变化率，而具有对称性，即定义1.2称为函数关于点的二阶差商，二阶差商与一阶差商相同，与点的排列顺序无关，而这种性质称为查收的对称性

6、，即定义1.3用阶差商的差商来定义阶差商同样阶差商具有对称性。1.2差商的递推定义定义1.1设有两两互异的节点，对函数，称为在节点处的一阶差商，称为在节点处的二阶差商。一般地，在个两两互异的节点称为在节点处的阶差商，差商也称为均差。1.3差商的性质性质3.1若是的任一置换，则有性质3.2差商可表示为节点函数值的线性组合，即，其性质3.3满足的次Newton插值多项式可表示为性质3.4若，则必存在一点使性质3.5若在的领域内具有直到阶的连续导数，节点两两互异，则有证明：（数学归纳法）当时显然成立假设等式成立，

7、即则（其中指对第一位置求导）得到有故等式成立，得证性质3.6若在的领域内具有直到阶的连续导数，节点两两互异，则有其中.2.差分及其性质2差分的定义设已知函数在等距点上的值是称为步长的常数。定义2.1称函数在每个区间上的增量为函数在点的一阶差分，记为。定义2.2一阶差分称为二阶差分，记为，即=。定义2.3用阶差分来定义阶差分。2.4差分与函数值的关系（1）.（2）（3）2.5从差分与差商的关系（1）（1）（2）2.6差分与导数的关系由于和，从而有由上式可看出，如果是一个次多项式，那么它的阶差分为常数，因此，如

8、果一个列表函数的阶差分已接近常数，那么用一个次多项式去逼近它是合理的。2.7利用差分的递推定义，差分的计算列出如下差分表：2.牛顿插值多项式3.1已知给定的数据表......其个节点处的函数值是；如果给出的的是的解析式，则在上述节点处取值，要求建立一个次数不超过的多项式，使。而只要在个已知节点以外再给一个节点，此时将节点也看作一个节点，推出逼近原函数的牛顿插值多项式为：（1）与原函数之间的关系是式中———函数的个