毕业论文-从康托灰尘谈起--分形结构的物理意义及其研究现状

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1、从康托灰尘谈起——分形结构的物理意义及其研究现状姓名：陈顺周学号：20081701125专业：物理教育指导老师：蔡建春第一章什么是分形1、分形的由来1975年，美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）根据拉丁文形容词“fractus”，首次提出“分形”概念。用其来描述大自然中各种不规则的事物形态，比如：曲折绵长的海岸线，错综浮杂的血管，延绵起伏的山脉等。它们都具有一个共同的特征，那就是这些事物的形态是不光滑的，是无法用传统的数学，物理学描述的，这就是分形。2、分形的发展历程分形的某些概念，最早可以追溯到一百多年前。涉及分形理论的典型代表主要有:1860年，瑞士数学家

2、塞莱里埃提出“连续函数必定可微”是错误的，并给出反例。1883年，德国数学家康托构造了三分康托集。1904年，瑞典数学家科赫构造出科赫雪花曲线。1919年，豪斯道夫给出维数的新定义，为维数的非整数化提供了理论基础。3、分型的特性——自相似性自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。4、分形的维数4.1拓扑维数4.2豪斯道夫(Hausdorff)维数4.3容量维数4.4相似维数维数是空间和客体（集合）的重要几何特征量。包括：5、分形的定义定义1.1如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数恒大于其拓扑维,即：，

3、则称该集合为分形集，简称为分形。定义1.2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。第二章几种典型的分形1、三分Cantor集——Cantor灰尘1883年，德国数学家康托提出了三分康托集。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图1)。如图1三分康托集的构造过程三分康托集的性质：自相似性；具有“精细结构”；是完备的闭集合；具有错综复杂的细节结构；其几何性质难以用传统的术语来描述，既不是满足某些简单条件的点的轨迹，也不是任何简单方程的解集；其大小不适合用于用通常的测度和长度的度量，用任何合理定义的长度来度量，其长度总为零；其局部几何性质也难以描述的，在

4、它的每点附近都是大量被各种不同间隔分开的其它点。Cantor灰尘在平面上构造康托集，那么最终生成的集合称为康托灰尘。康托灰尘的构造和三分康托集的构造很相似，它是将一个正方形分割成16个小正方形，保留其中的四个，去掉其它的小正方形，依次类推，无限的循环下去（如图2）。图2康托灰尘的构造过程2、Koch曲线1904年，瑞典数学家科赫构造了“Koch曲线”几何图形。三次Koch曲线的构造过程主要分为三大步骤：第一步，给定一个初始图形——一条线段；第二步，将这条线段中间的1/3处向外折起；第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段中间的1/3处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出Koc

5、h曲线。其图例构造过程如下图3所示(迭代了6次的图形)。图3Koch曲线的生成过程3、Julin集Julia集是由法国数学家GastonJulia和PierreFaton在发展了复变函数迭代的基础理论后获得的。Julia集由一个复变函数(为常数)迭代生成，如图4所示。图4Julia集第三章分形在物理上的运用1、布朗运动1827年英国植物学家布朗用显微镜观察到水中的花粉或其他微小颗粒在作不停地无规则运动，这种运动后来就被称作为布朗运动。布朗运动是布朗粒子由于受到周围分子不平衡的碰撞而引起的。1908年，法国物理学家佩兰通过实验描绘出布朗粒子运动的轨迹，布朗运动是一种具有自相似性的无规分

6、形，如图5所示。图5布朗粒子运动的轨迹2、凝聚现象和表面分形2.1凝聚现象及其模型自然界中存在很多与凝聚有关的现象，它们都具有分形的性质。实际中，人们常常用有限扩散凝聚（简称DLA）过程来模拟其自相似结构。该模型是美国密执安大学威特恩和桑德尔提出的（如图6）。图6DLA模型2.2表面分形固体表面往往是极其复杂的，不仅存在着弛豫、重构和台阶等结构的变化，而且其成分也存在着变化，这常常表现为物理的或化学的吸附。因此，固体表面是非常混乱的，严格说来，它是一个不规则的系统，在两种物质或一种物质两种形态的交界面（表面）上存在表面分形。2.3表面分形实例——地表河流的自相似性分布于地球表面的江河

7、溪流称为水系。它与地表的山地和湖泊一样，也具有分形性，因为水系的主流有许许多多的支流，而每条支流又有自己的小支流等等。因此，大的水系可以有多层次的分支机构，也就是说，河流具有自相似性。图7表示出了中国岷江水系，从统计意义上看，各层支流都是与主流相似的。图7中国岷江水系第四章分形结构的物理意义及研究现状物理意义：分形理论冲破了整体与部分之间的隔膜，找到了从部分过渡到整体的媒介和桥梁，即整体与部分之间的信息“同构”；分形理论的提出，转变了人们传统的思维方法；分