从康托集到分形

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1、∗碎形專題一從Cantor集到碎形林琦焜一.前言學家與哲學家,關於其生平讀者可參閱[5]。本文另一主題—維數(相似或碎形維數),我們已經在前文[8],談到從十進位的則是與GeorgCantor一樣有猶太人血統的概念來分析Cantor集,Cantor集可以說FelixHausdorff之貢獻。FelixHausdorff是歷史上第一個出現的碎形(fractal)∗。什麼(1869–1942)是猶太裔的數學家,1891年畢是碎形?從Cantor集來想像;碎形的基業於Leibzig,爾後仍留在Leibzig直到

2、本特徵是它的自我相似性(self-similar)與1910年才轉往波昂(Bonn),1935年之後由其維數(dimension)不必是整數。這正是這於其猶太背景不見容於納粹,經過數年的痛篇文章所要談的兩個主題;所謂自我相似是苦折磨後於1942年偕妻子與妻子的妹妹一起指無論採取任何大小的尺度(scale)對它作自殺身亡。測量,其形不變,意即在碎形中取某一點之鄰FelixHausdorff的主要工作是拓域,並將此鄰域放大,你將發現放大後的圖形與原來的並沒有什麼兩樣,在數學與自然界撲學(topology)與

3、集合論(setthe-中都有豐富的碎形。最典型的例子就是Can-ory),其中最重要的著作是在1914年出版tor集還有與之相關的一序列結果,如科赫的“Grundz¨ugederMengenlehre”這雪片,Peano填滿空間的曲線...等等都是碎本書可視為點集拓撲學(pointsettopol-形。ogy)的里程碑,自此空間(space)被視Cantor集顧名思義與GeorgCantor為有單獨性的結構,而不再像過去一樣那麼(1845–1918)有密不可分的關係,他是歷史依賴群(group)的觀念

4、(例如;F.Klein上第一個對無限(infinite)有真正認識的數(1849–1925)的ErlangenProgram)。在∗碎形的英文為fractal,源自拉丁文fractus,含有破碎的意思,英文的部分的(fractional)與破裂(frac-ture)也源自這個字,BenoitMandelbrot於1975年創造了該詞,為的是要描述在不同範圍裡都具有相同的不規則的奇怪幾何。本刊十五卷三期(民國八十年九月)曾刊登「混沌與碎形專題」,有興趣的讀者可參閱。34數學傳播25卷1期民90年3月當時F

5、.Hausdorff綜合比較現有的理論發分析(functionalanalysis)中的距離空間現:距離(metric),鄰域(neighborhood),極(metricspace)也是他的貢獻並由他所命限(limit)這三個觀念的關係為:名。距離觀念=⇒鄰域觀念=⇒極限觀念意思是在一個空間(即一個抽象集合),若從二.Hausdorff維數距離觀念出發就可以定義鄰域與極限;若從我們已經知道Cantor集之長度(測度)鄰域觀念出發就可以定義極限,但不能定義距離;若從極限觀念出發不能定義鄰域也不為零,但這並

6、不表示沒有東西,通常歐氏空間能定義距離。因此Hausdorff選擇鄰域的幾的度量方法無法比較碎形之大小,所以勢必個性質作為拓撲空間(topologicalspace)要引進Hausdorff維數或碎形維數的概念。公理化的定義;也就是說利用鄰域的觀念建立起點集拓撲學公理化的基礎。例如一個毛線球,遠看是一點(0維),近看Hausdorff於1919年引進Hausdorff是一個球(3維),再細看又是一維的線所纏維數(Hausdorffdimension)的概念,這個繞而成有著更精細的結構,可見維數是與尺新觀念可用來

7、研究科赫雪片...等複雜的曲度有密切關係。要談這個新概念當然還是從線,數十年後的碎形幾何(或分形幾何)更是依此來定義碎形維數(或相似維數):如果一日常生活中熟悉的觀念著手,因為任何新的個碎形S可以劃分成N個一樣大小(在歐事物絕不會憑空而降,而是對於原事物有更氏幾何的意義下)的子集,每一個都是原集合深入的認識。現在取一邊長都是1的正方形,S的r倍,則S之碎形維數D定義為把它的邊長放大二倍,所得的圖形為原來的logND≡log(1/r)四倍,如下圖:這實際上就是Hausdorff維數的簡單翻版。......

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