一类具有重叠康托集

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1、华东师范大学硕士学位论文一类具有重叠的康托集姓名：鄢彩光申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：李文侠20070501学位论文独创性声明本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果．据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意．作者签名：学位论文授权使用声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版．有权将学位论文用于非赢利目的的

2、少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅．有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索．有权将学位论文的标题和摘要汇编出版．保密的学位论文在解密后适用本规定．学位论文作者签名：弓争劲九日期：ｚ当理：￡：！了ｑ工ｆｄ导师签名：３日期：兰！１２：曼弓。引…善妥降摘要设毋为自相似压缩映射族｛ｓ，ｌｏＳｉ≤５＇的吸引子，其中岛（ｚ）＝。／７，＆（ｚ）＝：（ｚ＋Ａ）／７，岛（ｚ）＝（茹＋２）／７，岛（ｚ）＝（￥＋４一Ａ）／７，Ｓ＇４（ｚ）＝０＋６—２Ａ）／７和岛（ｚ）＝０＋６）／ｒ，其中Ａ∈ＱＮ［ｏ，１ｂ本文讨论了取的结构和Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数。关键词

3、：Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数；自相似集；康托集；２（不）完全重叠ＡｂｓｔｒａｃｔＬｅｔｊｈｂｅｔｈｅａｔｔｒａｃｔｏｒｏｆｔｈｅｃｏｎｔｒａｃｔｉｖｅＩＦＳ岛（ｚ）＝＝／ｒ，ｓ１（ｚ）＝扣＋Ａ）／７，＆（动＝０＋２）／ｒ，是（ｚ）＝扛＋４一Ａ）／７，＆（ｚ）＝和＋６—２Ａ）／ｒａｎｄ＆（￡）＝（ｚ＋６）／７ｗｉｔｈＡ∈【ｏ，１】ｎＱ．Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｉｃｓｔｒｕｃ－ｔｕｒｅａｎｄｔｈｅＨａｕｓｄｏｒｆｆｄｉｍｅｎｓｉｏｎｏｆｚｈａｒｅｄｉｓｃｕｍｄ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｈａｕｓｄｏｒｔｆｄｉｍｅｎｓｉｏ

4、ｎ；Ｃａｎｔｏｒｓｅｔｓ；ｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌａｒｓｅｔｓ；（ｎｏ）ｃｏｍｐｌｅｔｅｏｖｅｒｌａｐ．３引言分形这一概念是由法国数学家Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ［１】于本世纪７０年代提出来的。自二十世纪八十年代初开始，这一数学分支引起了人们的广泛兴趣，从而促进了分形几何的发展。但是，直到现在人们仍没有对分形下一个严格的定义．一般来讲，欧儿里德空间中的集合，如果它具有下面所有的或是大部分的性质，它就是分形：（１）具有精细的结构，即有任意比例的细节；（２）相当不规则，以至于无论它的局部和整体都不能用传统的几何语言来描述：（３）通常具有某种自相似或自仿射性质，

5、可能是统计或近似意义上的；（４）“分形维数”（用某种方式定义的）通常大于它的拓扑维数；（５）在许多令人感兴趣的情形，具有非常简单的，可能是由迭代给出的定义；（６）通常具有“自然的外貌”。分形的例子比比皆是，如三分康托集，ＶｏｎＫｏｃｈ曲线以及Ｓｉｅｒｐｉｎｓｋｉ地毯等分形集（ｆ２】，【１２】，【１３】）．白相似集是分形几何的重要研究对象，这一概念首先由Ｍｏｒａｎ［３１提出，后来，Ｈｕｔｃｈｉｎｓｏｎ【４】对自相似集做了系统研究，当满足一定的分离性（即满足开集条件）时，自相似集的结构比较清晰，且其分形维数和Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ澳Ｊ度具有很好的性质。而具

6、有重叠的自相似集的结构比较复杂，国内外有许多人（【５】，【６Ｊ，【７Ｊ，Ｉｓ］，【９】）做了深入细致的研究。本文是在文献【７】的启发下作的。第一部分介绍了相关的预备知识，主要介绍了Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度和分形维数的有关概念和性质。第二部分主要讨论一类具有重叠的康托集的结构和性质，着重讨论这类康托集的完全重叠与不完全重叠。４§ｌ预备知识§１．１分形维数与测度定义１．１（Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度）设Ｕ是欧几里德空间掣的一个子集，定义Ｕ的直径为ｌＵＩ＝ｓｕｐ｛Ｉｘ—ＹＩ：ｚ，Ｙ∈ｕ），设ｓ≥ｏ，６＞０，Ｅ为ｘ的子集，令嚆（Ｅ）＝ｉｎｆ｛∑附：Ｕｕ，ＤＥ，

7、吲ｓ６），１＞１ｉ＞１＇ｆ；（Ｅ）随着６减小而逐渐增大，从而以下极限存在咒。（Ｅ）２舰弼（Ｅ）－可以证明Ｈ。（・）是一个外测度，“５（Ｅ）称为Ｅ的ｓ一维Ｈａｕｓｄｏｒｔｆ测度，它的值可能为０，正有限或正无穷．如果０＜”（Ｅ）＜ｏｏ，ＮＥ被称为ｓ一集．由定义，Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度具有以下性质：设０≤ｓ＜ｔ＜ｏ。，ＥｃＸ，则（ｉ）卯（司＜∞一卯（司＝ｏ＇（ｉｉ）咒８（Ｅ）＞０—７∥（Ｅ）＝ｏｏ．因此，存在ｓ的一个临界值，使得ｗ４（Ｅ）从无穷跳到０，此临界值称为Ｅ的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数，记作ｄｉｍ日Ｅ，其精确定以如下：定义１．２（Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维

8、数１ｄｉｍ日Ｅ＝ｓｕｐ｛８：“。（司＞ｏ）＝ｓｕｐ｛ｓ：“。（研＝ｏｏ｝＝ｉＩｌｆ｛ｓ：咒。（Ｅ）＜ｏｏ｝＝ｉｎｆ｛ｓ：冗