康托尔三分集.doc

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1、康托尔三分集的性质及应用摘要：本文通过对康托尔三分集的定义的描述，这里将康托尔三分集记为P，经过分析康托尔三分集的定义方法可以得出P为闭集，以及对其性质的讨论，得到（其四个重要的性质，分别为：(1)P是完备集；（2）P没有内点；（3）[0，1]P是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1；（4）P的基数为c。并由此通过测度的定义及性质进一步对其测度的大小进行确定，得出其测度为零。有了性质，我们进一步讨论康托尔三分集的应用，研究康托尔三分集对我们的数学理论和应用等方面的意义。在此基础上有进一步分析它的不足之处。关键词：康托尔三分集测度闭集疏朗

2、集合内容：一、康托尔三分集的定义康托尔三分集是由德国数学家康托尔构造的，它是人类理性思维的产物，并非某个现实原型的摹写，用传统的几何术语很难对它进行描述，它既不是满足某些简单条件的轨迹，也不是一个简单方程的解集，它是一种新的几何对象。下面我们一起来看看它的具体定义方法。我们先将闭区间[0,1]三等分，去掉中间的开区间（13,23）,剩下两个闭区间[0,13]，[23,1]。又把这两个闭区间个三等分，去掉中间的两个开区间，即（19,29），（79,89）。一般地，当进行到第n次时，共去掉个开区间，还剩下个长度是的互相隔离的闭区

3、间，而在第n+1次时，再将这个闭区间各三等分，并去掉中间的一个开区间，如此进行下去，就从[0,1]去掉了可数个互不相交且没有公共端点的开区间，如下图所示：又因为直线上的闭集F或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间（即F的余集）所得到的集，所以康托尔三分集为闭集。并且我们把康托尔三分集记为P。二、康托尔三分集的性质1、P为完备集由于P的临界区间的作法，它们的任何两个之间根本不存在公共端点，故P没有孤立点，因而P自密，又因为P为闭集，因此P为完备集。2、P没有内点我们观察P的做法，不难看出，去掉过程进行到第n次为止时，剩

4、下-3-个长度是的互相间隔离的闭区间，因此任何一点P必含在这个闭区间的某一个里面，从而在的任意邻域内至少有一点不属于P，但→0（n→）,故不可能是P的内点。P既然是没有内点的闭集，那么在任一开区间I内必至少含有开集的一点，从而I内比至少有一子开区间，其中不含P的点。在这里我定义凡是一个点集E（不限于中），如果其具有性质：空间任意邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E的点，则称E为疏朗集合。因此P为一个疏朗集合。3、[0，1]P是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1。第n次去掉的个长度为区间，因此[0，1]P中互不相交的开区间的长度之

5、和为，若P有长度，其长度只能为零，即P的测度为0.4、P的基数为c。若[0,1]中的数用三进制小数表示，第一次去掉的区间中每个数的第一小数都是1，以此类推，第二次去掉的两个区间中的每个数的第二位小数都是一。以此类推，第n次去掉的个长度为区间的每个数的第n位小数都是1，因此所有每位小数可以仅用0或2表示的数是永远不会去掉的。我们又定义映射如下：对，若，则，其中由以上分析，且易知是单射，因此。又，又有，因此。三、康托尔三分集的测度虽然上面我们讨论康托尔的性质时说到了康托尔三分集的长度，并且说明它的测度为零，但那只是粗略的提了下，下面我们对它的测

6、度为零进一步给出证明。在这里我们记P的余集为G，即G=[0,1]-P是开集，由直线上开集的构造，可记其中为第n次去掉的所有开区间的并集。由康托尔三分集的作法知，为个互不相交的长度为的开区间的并，并且。-3-由G可测知P=[0，1]-G可测，而P+G=[0，1]，所以，故：即康托尔三分集的测度为0.由于康托尔三分集的测度为0，由勒贝格积分的定义我们可以推出若为定义在康托尔三分集（P）上的函数，则有(L)=0四、康托尔三分集的应用对一门学科，研究其性质并不是我们的最终目的，而对它的应用才是最终目的，前面我们已经对康托尔三分集的性质进行了分析研究

7、，下面我们来进一步看它在数学、经济等方面的应用。康托尔三分集在数学方面的应用：由于康托尔三分集的许多奇特性质，使得其在构造反例中被广泛应用，它的研究在整个数学研究中起了十分重要的作用，使许多问题迎刃而解。下面我们举例说明它的具体用处。命题1可列集的测度为零，但测度为零的集合不一定为可列集。例如康托尔三分集的测度为零，但它为不可列集。命题2如果A、B为R1上的正测集，则A+B包含一个区间。反之不成立，即A+B包含一个区间，但可能m(A)=m(B)=0。例如A、B均为康托尔三分集时就是其中的反例康托尔三分集在数学中还有其它的应用在这里不一一举例

8、，我们来看下它在经济方面的应用，由于康托尔三分集是将一条直线分割成三份，去掉一份，留下两个线段，把剩下的两份线段各自再分割成为两份，连续重复删去三分之一线段，保留两个线段，而这两