数学分析PPT电子课件教案-第十一章 广义积分

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1、第十一章:广义积分§1无穷限广义积分一、无穷限积分的概念例1.计算广义积分解证Cauchy收敛原理定理11.1无穷限积分的Cauchy收敛原理定理11.2证明：已知　　　　　　收敛，由cauchy原理定义1绝对收敛与条件收敛二、无穷限积分的收敛判别（一）比较判别法(与正项级数类似)定理11.3（二）Cauchy判别法(取作比较的标准)定理11.4定理11.5例6解：因故　　　　　　　　　发散例7解：因故　　　　　　　　收敛例8见P54（一）积分第二中值定理定理11.5(1)(2)(3)（二）A-D判别法定理11.6(1)(Abel判别法)(2)(Dirichlet判别法)例9例10

2、例11注：由　　　　　　　收敛，并不能推出§2瑕积分一、瑕积分的概念存在，则称瑕积分是收敛的，且积分值等于收敛值，并用符号表示这个积分值若上述极限不存在，则称瑕积分是发散的。如果为瑕点,可类似定义如果为瑕点,可定义只有当右边两个瑕积分都收敛时，才收敛。例1讨论积分的收敛性：例2判断积分的收敛性：定理11.8(柯西收敛原理)设瑕积分只有唯一的瑕点a，则收敛有，由此引出瑕积分的绝对收敛与条件收敛概念。二、瑕积分的收敛判别法瑕积分可转化为无穷限的反常积分.例如因此无穷限反常积分的收敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.设瑕积分只有唯一的瑕点a，则令　　　　，则定理11.2(比较判别法)

3、有有则使对一切充分接近a的x(x>a).设瑕积分只有唯一的瑕点a,定理7.(比较判别法的极限形式)则1)当2)当例3.判别反常积分解:利用洛必达法则得根据极限判别法,所给积分发散.设瑕积分只有唯一的瑕点a,若例4.讨论的收敛性解：即总结：定理11.11(狄利克雷判别法)设瑕积分只有唯一的瑕点a,是的有界函数，单调当时趋向于零，那么瑕积分收敛。定理11.12(阿贝尔判别法)设瑕积分只有唯一的瑕点a,收敛，单调有界，则瑕积分收敛。例5.讨论的收敛性：解：综合可得，时收敛；时发散。则由阿贝尔判别法知，故积分发散。另外，习题证解例3解根据比较判别法得，例4.判定椭圆积分散性.解:由于的敛根

4、据极限审敛法2,椭圆积分收敛.例5.判别反常积分的敛散性.解:故对充分小从而据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.补充题例1解所以,所给广义积分收敛．例2解根据极限比较判别法，所给广义积分发散．例3解根据极限收敛法，所给广义积分发散．例4解例5解作业P56:1.(3),(4),(5),(6).2.(2),(4),(5),(6)P64:5.6.7