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1、2011级研究生“有限元法”课程理论作业仲健林3110121191．已知平面应力问题下三节点三角形单元的节点坐标、和；单元的节点位移分量、；材料弹性模量，泊松比。试求：（1）单元的形函数，和；（2）单元内应变和应力分量？解：(1)(2)又由得15/15由可得即2．图示为一个三个节点的杆单元，为坐标原点，其位移模式取为。设其为常数，试求其单元的刚度矩阵。O123L/2L/2x解：可求得：上述三式代入并整理得：15/15则由得单元的刚度矩阵2134PyxaaABijmijm3．已知图示正方形薄板的边
2、长为，厚度为，弹性模量为，泊松比。现将其分成两个三角形单元，设节点2、3和4为不动点，在节点1处受到向上的集中载荷P。试求节点位移，支座反力以及单元A和单元B内的应力？解：如图建立坐标系。对于单元A：i(0,a)，j(0,0)，m(a,0)，由15/15可得对于单元B：i(a,0)，j(a,a)，m(0,a)，同理可得整体刚阵15/15又可得由可得单元A：15/15同理，单元B：4．已知集中载荷，试求图示六节点三角形单元的等效节点载荷列阵。yx21i(2,2)j(6,3)m(5,6)3(5,4)
3、P30º解：设集中载荷P的作用点为A，则15/15又又由得5、已知材料的弹性模量和泊松比。计算图示四面体单元的形函数；单元的刚度矩阵中的元素和。i(0,0,0)j(3,0,0)p(2,1,2)m(1,3,0)15/15解：同理可得:由15/156、图示四边形单元受到均匀的重力载荷（单位体积载荷，沿轴负方向）作用，已知单元的厚度为常量，材料的弹性模量和泊松比。试用阶高斯积分计算节点1处的等效节点载荷和单元刚度矩阵中的元素yxhx3(7,6)4(1,5)2(8,1)1(2,1)解：由可得：又15/1
4、5当时，当时，当时，15/15当时，由可得：又由高斯积分公式可得：当时，15/15当时，当时，当时，7．写出线性动力学有限元方程，并说明方程中各个符号的力学含义。简介线性动力学有限元方程的求解方法，并且说明方法的思想和分析步骤。解：（a）其中：为质量矩阵，为阻尼矩阵，为刚度矩阵，为外载荷向量，分别为加速度、速度和位移向量。总的来说，有两种求解方法：直接积分法和振型叠加法。（1）直接积分法在直接积分中对方程(a)是逐步地进行数值积分的，进行数值积分前没有进行把方程变为另一种形式的变换。实质上，直接
5、积分是基于下面的两个想法，第一个想法是只在相隔的一些离散的时间区间上而不是试图在任一时刻t上满足方程(a)15/15即包含有惯性力和阻尼力作用的(静力)平衡是在求解区间上的一些离散时刻点上获得的。因此，似乎在静力分析中使用过的所有求解方法，在直接积分法中或许也能有效地使用；第二个想法是假定位移、速度和加速度在每一时间区间内变化。直接积分法又分为中心差分法，Houbolt法，Wilsonθ法和Newmark法。（2）振型叠加法振型叠加法是对各矩阵进行适当的变换，变换的目的是要得到新的系统刚度、质量
6、和阻尼矩阵，使它们的带宽比原来系统矩阵的小，以达到减小计算量的目的。振型叠加法又分为忽略阻尼和考虑阻尼两种情况。Newmark法Newmark积分格式也可以认为是线性加速度法的推广，它所用的假定如下其中和是参数，根据积分的精度和稳定性的要求来确定这两个参数。当时，式相应于线性加速度法。Newmark最初提出以‘恒定—平均—加速度法’作为无条件稳定的格式，在这种情形下，。要得到在时刻的位移、速度和加速度的解，就只需考虑在时刻的平衡方程(a)，具体步骤如下：a初始计算1．形成刚度矩阵、质量矩阵和阻尼
7、矩阵。2．计算初始值。3．选取时间步长，参数。计算积分系数：4．形成有效刚度矩阵。5．对作三角分解：b每一时间步长内的计算15/151．计算在时刻的有效荷载：2．计算时刻的位移：3．计算时刻的速度和加速度：8．图示两个三角形单元的集合体，边长为，厚度为，材料的密度为，弹性模量为，泊松比，并且已知阻尼的常数和。写出单元集合体的整体集中质量矩阵和阻尼矩阵。2134yxaa②①ijmijm解：如图标号。由单元集中质量矩阵可得：整体集中质量矩阵为参照第3题：15/1515/15
