线性代数总习题一答案

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1、总习题一1、用行列式定义计算。【解】由于行列式各行仅有一个非零元素，根据行列式定义，这些元素的乘积构成了该行列式的唯一非零项。将这些元素的乘积按行码排列，为这个乘积所冠符号由该项元素的列码排列确定，由于为奇数，即知。2、计算下列行列式：；【解法一】化为上三角行列式：原式。【解法二】用降阶法，设原式为，得：第22页共22页总习题一。；【解】用降阶法，先将0较多且较易化0的行(列)化为仅一非零元，然后按该行(列)展开：原式。；【解】易见各行元素总和为，于是，将2列加到第第22页共22页总习题一1列，就易于化第1列元素化为仅一非零元：。【解】易见各行

2、元素总和为，于是，将2列加到第1列，就易于化第1列元素化为仅一非零元：第22页共22页总习题一。3、利用行列式的性质证明：。【证明】左边=右边。证毕。4、已知，则中的系数是。第22页共22页总习题一【解法一】，知中的系数是。【解法二】按第一行展开行列式，得，由于都不含，可知中的系数是。5、。【解】。6、计算下列行列式：；第22页共22页总习题一【解】原式。；【解】。第22页共22页总习题一；【解】原式其中：；，于是，原式。第22页共22页总习题一7、计算下列行列式：；【解】各行(列)都是1--n这n个数，原式第22页共22页总习题一。。【解】原

3、式。8、计算下列行列式：；第22页共22页总习题一【分析】对于形如的行列式，一般称为“三对角”行列式，常用递推公式法进行计算，往往应用按行（列）展开的方法，化为或的递推公式，递推至低阶行列式然后计算其结果。【解】用递推公式法：由于，；于是，即得，此递推公式有两个变量，不易使用，变形，得，亦即，将此递推公式中视为一个整体，即左边的足码减1得到右边的结果。亦即：，于是第22页共22页总习题一递推得=.................即为：；----------------又由得继续推算，得=....................即为：，-----

4、-----------解联立方程组得，亦即。第22页共22页总习题一。【解】用归纳法：由于，；于是，先发现的递推公式，然后推出结果。因为1行1列元素异于主对角线上其它元素，因此，要使含原主对角线元素的各阶子式仍保持这个规律，应按末行（列）展开：于是，即得递推公式：，第22页共22页总习题一此公式有两个变量，不易使用，而且无法找到类似上题的同形变化关系式，从而不易递推至低阶。于是，由低阶起寻找计算规律：；，即由递推公式：，得----应用积化和差公式，从而由上过程知，对于均成立，于是仍由递推公式，得，即由数学归纳法得，。9、证明：；【证明】第22页

5、共22页总习题一。证毕。设，则【证明】第22页共22页总习题一。证毕。10、设，试求，其中为元素(j=1,2,3,4)的代数余子式。【解】，由题设可见，，根据第一章第4节定理1的推论：可得。11、已知四阶行列式，试求与，其中(j=1,2,3,4)是中第四行第列元素的代数余子式。【解】有；又有，将与分别作为一个未知数，解方程组，得。第22页共22页总习题一12、已知阶行列式，求代数余子式之和。【解】易见，是中第一行各元素的代数余子式，但中却没有全部元素都是1的行，因此，无法应用第一章第4节定理1的推论：，但我们可以设计一个新的行列式，亦即将中的第

6、一行元素都改为1，即，则将按第一行展开，其结果即为，现在只须计算的值即可。，即得。13、用克莱姆法则解下列线性方程组：；第22页共22页总习题一【解】计算系数行列式：，由克莱姆法则知，方程组有唯一解，继续计算各未知数的分子行列式：；；第22页共22页总习题一；；，由克莱姆法则得，，，第22页共22页总习题一，。。【解】计算系数行列式：应用本总习题一8(1)的方法，得的递推公式为，从而有推得；推得，即由解得，于是：，方程组有唯一解，；第22页共22页总习题一；；；，由克莱姆法则得，，，，。第22页共22页总习题一14、设，求导函数的零点个数及其所

7、在区间。【解】对行列式按第列展开，得，其中是行列式中第列各元素的代数余子式，可见是个次多项式，于是是个次多项式，又因属于范德蒙行列式，由于而的展开式中，不含的差的相乘积可以统一表达为常数，于是可以得到，即由罗尔中值定理，由于，知分别在个区间内，至少有个，使。第22页共22页总习题一第22页共22页