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《线性代数总复习题(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、总复习题（二）一．填空题12345678901．5阶行列式12000=0．68000ab00011234512000−0000rr13↔126789068000rr−rr↔1268000354分析：12000−ab000−rr↔ab00024680006789067890ab0001234512345⎛⎞1=−−⎜⎟⋅⋅⋅⋅=80950．（下三角行列式）⎝⎠2−11∗2．设A是3阶矩阵，已知A=2，则4A=128，A=，A=4．2分析：∵2A=，A是3阶矩阵．3∴==×446AA42=128，−111−1−1−11A==（∵AA=E．∴AA⋅==E1，A=．）A2A3−∗
2、11∗−1∗−1132−A∵AA=．∴=AAA，AA=AA==A=A=4．AA⎛⎞aaa1112133．设矩阵A=⎜⎟，B是方阵，且AB有意义，则B是3阶方阵，AB是2行3aaa⎝⎠212223列矩阵．分析：∵AB有意义，A．∴AB．23×233_××∵B是方阵．∴B，B是3阶方阵，AB=(AB)．33×2333××23×2−14．设A是方阵，且满足AAEO+−=，则A=AE+．2分析：∵AAEO+−=．2∴+=AAE，AAEE(+=)．−1∴A可逆，且AAE=+．二．判断题1．若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成
3、比例．（×）123412340011rr32−0011分析：如一．1，或=10020×××=．（上三角行列式）0012rr−6000142006800022．若矩阵A、B、C满足AB=AC，且AO≠，则B=C．（×）⎛⎞11101110−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎛⎞10−10分析：矩阵乘法不满足消去律，如⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟，但⎜⎟⎜⎟≠．⎝⎠00100010⎝⎠⎝⎠⎝⎠−⎝⎠⎝⎠10−103．若矩阵A的秩为r，则A的r−1阶子式不会全为零．（√）分析：否则，若A的r−1阶子式全为0，则A的r阶子式全为0（∵A的r阶子式可展为r−1阶子式的和）．4．当齐次线性方程组的方程的个数
4、少于未知量的个数时，此齐次线性方程组一定有非零解．（√）分析：设齐次线性方程组的方程个数为m，未知数个数为n．∵R(A)Jmn<．∴该齐次线性方程组一定有非零解．5．若αα,,,"α线性相关，则α一定可由αα,,"线性表示．（×）12s12s分析：αα,,,"α线性相关⇔αα,,,"α中至少有一个向量能由其余向量线性表示．但这个向量未必12s12s⎛⎞1⎛⎞0⎛⎞0⎛⎞0⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟是α．如α=0，α=1，α=0，α=1．ααα=+，故向量组αααα,,,线性相关；但11⎜⎟2⎜⎟3⎜⎟4⎜⎟4231234⎜⎟⎝⎠0⎜⎟⎝⎠0⎜⎟⎝⎠1⎜⎟⎝⎠1α不能由ααα,,线性
5、表示．1234a11"1111a"三．计算n阶行列式D=11a"1．n####111"aa11"1an+−(111)"1111"1111a"an+−()111a"111a"cc+解：D=a1in11"1an+−()11a"1=⎡+⎣⎦an()−⎤111a"1()in=2,",############111"aan+−()111"a111"a111"1010a−"0rr−ni1⎡+−⎤an1100a−10=⎡+−⎤−ana1．⎣⎦()"⎣⎦()()()in=2,",####000"a−1⎛⎞222−⎛⎞20⎜⎟⎜⎟四．已知A=−142，B=−25，并且AX=B+X，求X．⎜
6、⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠212−⎜⎟⎝⎠11−解：∵AX=+BX．∴−=AXXB，()AEXB−=．⎛⎞122201204410042−−⎛⎞⎛−⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟()AEB−=,1−32−25∼∼0100101001．⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠213110013200132−−⎜⎝−⎟⎠⎜⎝−⎟⎠∵∼AEE−．⎛⎞−42−1⎜⎟∴−AE可逆，XAEB=−()=01．⎜⎟⎜⎟⎝⎠−32⎧xxxx−23+−=1,1234⎪五．解线性方程组⎨35xxxx−+−=32,1234⎪⎩22xxxx++−=23.1234⎛⎞1231112311−−⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟解：()Ab,31=−−53205∼−4
7、0−1．⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠2122300002−⎜⎟⎝⎠∵23RR()AA=<=(,b)．∴该线性方程组无解．⎛⎞1⎛⎞9⎛⎞7⎜⎟⎜⎟⎜⎟210096六．设有向量组a=⎜⎟，a=⎜⎟，a=⎜⎟，求矩阵Aaaa=(,,)的秩R()A，并求此向量组123123⎜⎟−1⎜⎟10⎜⎟12⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠4⎝⎠4⎝⎠−4的一个最大无关组．⎛⎞197197⎛⎞⎜⎟⎜⎟21009608282解：Aaaa==(),,⎜⎟∼⎜⎟．123⎜⎟−11012000⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠444000−⎝⎠∴=2R()A；aa12,是该向量组的一个最大无关组．
