高等数学A(二)期末复习指导(详细)

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1、高等数学A(二)期末复习指导一、空间解析1.简单的数量积、向量积；求夹角和方向余弦，，，为的夹角数量积：，（1）长度；（2）夹角为，则向量积：确定位置关系（1）；（2）∥．（3）是一个与都垂直的向量.2.会求坐标平面中曲线绕坐标轴旋转的旋转曲面的方程；给出旋曲面方程能确定是如何旋转而来的。会求空间曲线在坐标平面内的投影曲线。（1）面内的曲线绕轴旋转所得曲面的方程为.其它坐标平面内的曲线绕坐标轴旋转类似.（2）中，消去变量后得曲线关于面的投影柱面，投影柱面与面的交线即为在面上的投影曲线（投影）．其它类同.3.会求平面方程与直线方程.（1）平面方程（注意：平面

2、法向量与平面垂直）15点法式方程：过点与定方向（法线方向）垂直的平面方程为：，平面一般式方程：，其中为平面的法线向量．（2）直线方程（注意：直线的方向向量与直线平行）对称式（点向式）方程：过点与定方向（直线方向）平行的直线方程：．直线参数方程：．（多用于表示线段或求直线与曲面交点）分清楚平面与直线，一个关于的方程表示平面；直线是两个平面交出来的。4.能判断简单的位置关系（如直线垂直、平行）（1）平面的法线向量分别为，；且没有公共点.（2）直线的方向向量分别为，；则且没有公共点.（3）直线的方向向量，平面的法线向量；且没有公共点.5.点到平面、直线的距离：平

3、面外一点到平面的距离．15二、多元函数微分1.会求简单的二元函数极限：利用有理化或者等价无穷小代换消去分母上极限为零的因子再求极限。（1）利用公式有理化（2）利用等价无穷小：当时，，，。2.会求偏导数、全微分，明白偏导数存在、可微、连续间的关系（1）求偏导数时关键是分清对哪个变量求偏导数，将其余变量均看作常量，与一元函数求导相同即可。一元函数导数求导法则，对于多元函数求偏导数仍然成立.（2）可微，则.（3）在处有连续偏导数在可微；在可微在处有偏导数存在；在可微在处连续.3.会求复合函数的偏导数（包括抽象函数的一阶和二阶偏导数）（1），都可导，具有连续偏导数

4、，则：＝＋．（2），偏导数均存在，具有连续偏导数，则：=+，=+．（3）具有连续偏导数偏导数存在，则：；．15注意：与是不同的，是对函数中所涉及到的所有变量求导，即看成的函数进行求导；是把中的及都看作与无关的变量进行对求导．与也有类似的区别.注意：（1）如果是具体函数，也可以将函数代入减少复合再做，如，，，可代入后变成再求导.（2）如果是抽象函数，如是具有二阶连续偏导数的抽象函数，其中，具体给出，即求一阶和二阶偏导数，，则，同理可求。4．会求一个方程确定的隐函数的偏导数（1）由一个方程确定的隐函数则：（这里）（2）由一个方程确定的隐函数，则=,=，（这里）

5、）.这里求时，将视为相互独立，没有关系。15也可以方程两端对同一变量求导，碰到隐含数视为复合关系解出要求的导数或偏导数。例如由一个方程确定的隐函数，求方程两端对求导有：，解得=.5会求由参数方程确定的空间曲线的切线和法平面；会求曲面的切平面与法线。（1）,其中都可导，且.则曲线上对应于的一点处的切向量为.切线方程为法平面的方程为：.（2）曲面在点处的一个法向量为.切平面的方程为：通过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是6.会求简单函数的方向导数、梯度，并知道梯度方向是方向导数增加最快的方向，梯度反向方向是方向导数减少最快的方向，能确定函数

6、在一点变换最快的方向和该方向的方向导数.（1）如果函数在点处可微，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有，其中是射线的方向余弦。（2）向量称为函数=在点的梯度，记作.15（3）函数在一点的方向导数沿梯度方向达到最大，即梯度方向是函数增加最快的方向.此时方向导数为梯度的模长。（4）函数在一点的方向导数沿梯度反方向达到最小，即梯度反方向是函数减少最快的方向.此时方向导数为梯度的模长的相反数。7．会求多元函数的极值（无条件极值为主）函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，（1）由求得驻点，（2）令，则（i）当时有极值，（为记忆方便，也可记）且当时

7、有极大值，当时有极小值；（ii）当时没有极值；(iii)当时可能有极值，也可能没有极值.注意：要对每个驻点进行讨论。15三、重积分1了解二重积分的几何意义及性质，能够比较二重积分的大小若在上,，则有不等式2会求二重积分（利用直角坐标或极坐标计算二重积分，）（1）直角坐标系（i）当时，其中：为区域上的最小取值，为区域上的最大取值，是区域的下边界曲线，是区域的上边界曲线。（ii）当时其中：为区域上的最小取值，为区域上的最大取值，是区域的左边界曲线，是区域的右边界曲线。（2）极坐标系当时，其中：为区域上的最小取值，为区域上的最大取值，是区域的内边界曲线，是区域的

8、外边界曲线。特别地：一般地，如果原点包含在积分区域内，内边界就是3