高等数学在经济学中应用及习题

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1、高等数学在经济学中的重要应用总结经济学中的常用函数一、需求函数需求的含义：消费者在某一特定的时期内，在一定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．如果价格是决定需求量的最主要因素，可以认为Q是P的函数。记作则称为需求函数.常见的需求函数：线性需求函数：；二次曲线需求函数：，指数需求函数：，这里.幂函数需求函数：.例1.设某商品的需求函数为，讨论时的需求量和时的价格。解：时，它表示价格为零时的需求量为，称为饱和需求量；时，它表示价格为时，无人愿意购买此商品.二、供给函数供给的含义：在某一时间内，在一定的价格条件下，生产者愿意并且能够售出的商品．如果价

2、格是决定供给量的最主要因素，可以认为Q是P的函数.记作则G称为供给函数.一般地，供给函数可以用以下简单函数近似代替：线性供给函数：；幂函数供给函数：；指数供给函数：在同一个坐标系中作出需求曲线D和供给曲线S，两条曲线的交点称为供需平衡点，该点的横坐标称为供需平衡价格.供需平衡点供需平衡价格三、生产函数生产函数刻画了一定时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系.一般说来，生产要素包括资金和劳动力等多种要素.为方便起见，我们暂时先考虑只有一个投入变量，而其他投入皆为常量的情况.例2设投入与产出间的函数关系为，由于可见，当时，规模报酬不变；

3、当时，如果投入增加一倍，产出增加不到一倍，即规模报酬递减；当时，如果投入增加一倍，产出增加不止一倍，即规模报酬递增.四、成本函数成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本两部分组成.支付固定生产要素的费用支付可变生产要素的费用即例3已知某种产品的总成本函数为求当生产100个该产品时的总成本和平均成本．解由题意，求产量为100时的总成本平均成本为五、收益函数总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入.用表示出售的产品数量，表示总收益,表示平均收益，则如果产品价格P保持不变，则例4设某商品的需求关系是3Q

4、+4P=100,求总收益和平均收益．解价格函数为所以总收益函数为平均收益为六、利润函数利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差.即例5设某种商品的总成本为若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产10件的总利润．解由题意知（万元），总收益为，所以于是七、库存函数设某企业在计划期T内，对某种物品总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素，显然一次进货是不划算的，考虑均匀的分n次进货，每次进货批量为，进货周期为.假定每件物品的贮存单位时间费用为，每次进货费用为，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为，在时间T内的总费用E为

5、其中，为贮存费，为进货费用.八、戈珀兹(Gompertz)曲线戈珀兹曲线是指数函数，在经济预测中，经常使用该曲线.初始期发展期饱和期当时，图形如上所示，由图可见，曲线当且无限增大时，其无限与接近，且始终位于该直线下方.在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到k值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和.专题一函数关系的确定1.某种产品每台售价90元，成本60元，厂家为为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，多出的产品实行降价，其中降价比例为每多出100台每台降价1元（例如某商场订购300台，订购量比100台多200台，于是多出的这2

6、00台每台就降价0.01×200=2元，商场可以按88元/台的价格购进这多出的200台），但最低价为75元/台。(1)  试将每台的实际售价表示为订购量的函数；(2)把利润表示为订购量的函数；(3)当一商场订购1000台时，厂家可获利润多少？解：(1)由题设，当时，实际售价元/台，当时，由于产品最低价为75元/台，所以，即.故当时，实际售价元/台；而当时，实际售价元/台，综上(2)销售台总收入台总成本，因此台总利润(3)由(2)可知，当商场订购1000台时，厂家可获利润元.2.某公司全年需购某商品1000台，每台购进价为4000元，分若干批进货。每

7、批进货台数相同，一批商品售完后马上进下一批货。每进货一次需消耗费用2000元，商品均匀投放市场（即平均年库存量为批量的一半），该商品每年每台库存费为进货价格的4%。试将公司全年在该商品上的投资总额表示为每批进货量的函数。解：表示投资总额，表示每批进货量，则有.3.已知商场某种商品件时的总成本（单位：万元）,该商品的销售单价为9万元。求(1)该商品的利润函数；(2)生产10件该商品时的总利润和平均利润。解：(1).(2)生产10件该商品时的总利润为；平均利润为.4.设需求函数由P+Q=1给出，（1）求总收益函数P;(2)若售出1/3单位，求其总收益。

8、解：5.某工厂对棉花的需求函数由=0.11给出,（1）求其总收益函数R;（2）P(12),R(10),R(12),R(15