2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

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1、高一数学竞赛训练试题（2）一.填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分.1.设方程%2-2mx+/_1=o的根大于-2,且小于4,则实数m的范围是.2.从6双不同号码的鞋中取11!4只，至少配成一双的概率为.3.设实数X,y满足x2-4x+y2+3=0,则X2+y2的最大值与最小值之差是•4.若存在正实数d,b满足（d+勿）"=@一勿）"（i是虚数单位，;?gN*）,贝I"的最小值是.5.若三角形ABC的三边AB,BC,AC成等差数列，则乙4的取值范围是.6.若数列｛色｝满足冬=9,（⑦屮一陽_1）（。曲_3qJ=0（z?g

2、N*）,则满足条件的坷的所有可能值之积是.607.已知/•（兀）=F-94兀+2013,则=・刃=308.设x,ye[0,2/r],且满足2sinxcosy+sinx+cosy=—扌，则x+y的最大值为-9.复数Z],Z2满足

3、zj

4、=3,

5、z2

6、=5,

7、zi+z2

8、=6,贝ij

9、zrz2

10、=10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是•二.解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分.n1

11、1.在AABC中,a,b,c分别是角.A,B,C的对边，设a+c=2b,A-C=-.求sinB的值.2.如图，梯形ABCD中，B、£＞关于对角线AC对称的点分别是歹、DA.C关于对角线对称的点分别是A、C'・证明：四边形AB'C'D'是梯形.2.设关于x的一元二次方程2?-rx-2=0的两个根为a、卩，(r为实数，a

12、X2—t(x+x2)—4<0:4x—t(2)设金)=的~，7W在区间［a,卩］上的最大值与最小值分别为局x与/min，g(/)=/max一為in，求g

13、(0的最小值.2.正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一•证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点.2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空矽(本血满分70分，毎小跑7分〉1.设方程/一咖+卅一1=0的根大于一2・且小于4,则实敛那的范雨是.答赛：一l<»f<3・Ah方程xJ——I=0的两根为:X

14、=m—h心=巾+1.由題设得｛:;解么得一1

15、解「山题意如•点优卅在閲G仪一2)2七/=1

16、.J+/衣示圆C上的点克原点距离的平方，其最大値'Z最小值为I円此h+卩的尺大備与0小值Z年为8・4.若存在正实数eb満足(a-M)-(.a~bir(i地谎執甲位.«GN*).則n的最小值超.答案*3.th寺力=】•2时.经计算.不存在正实数gb.满足佃+耐=@_砧当u二3时.«4*〃=亨+L£ftJ(a4-hi)"=(

17、+c2—不3扩+3c‘一2frc3“>—<7），+與兀~东~=臥=8^因为b・「良正实如所UcZ詁・零号成立肖且仪当br.由0U4S知0

18、一“・一1）（心“一3叫）=0（底2）,则湧足条件的创的所仃可能值Z积.答案；0・.解！由⑷・1一4厂】）（4+【・3码）=0知血.

19、一a厂1—0或％•［—3心=0,因为卫=9.所以s可能为3.I可理血可能为I,从而投知血町能为0・囚此，符件条件的一个救列的前四W可以是0・1・3・4.故満足条件的尙的所冇町

20、能值之枳是0.7.已知•心）=<-9“+2013,刚£厲/»）+爪”）

21、）=•答案：364.解「人30）=93,人31）=60,.胆2）=29,夬33）=0.当易=34.35.….60时fX«）<0<所以f（如）+

22、用1）0=2X（93+60+29尸364.n-MR.设X,［0,2兀］・11満足2si：4gy+Hjur00即=一£刈x+»的最大值为・答案:警.卸1*12siiuco割+siav+cosy=—^・君<2s】iu1X2cosf4-1）~0.所以sinx=—1«或cos）'=-

23、.所以尸誓或平，此时，可以取［0,2n］内

24、的任意仮；曲尸导或爭，此时xOfU取（0・"］内的任危值.所以x+y的用九值为平+2"书・9.lL知正四面体ABCD的核长为9•点P是而ABC上的-个动点.满足P到面D•血DBC.DCA的距现血畔差數列.则P到而DCA距葛的最大值迢・答案：裁.解】