[教学设计]专题一：数与式的运算

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1、★专题一数与式的运算【要点回顾】1.绝对值[1]绝对值的代数意义：.即Ia1=.[2]绝对值的几何意义：的距离.⑶两个数的差的绝对值的几何意X:a-b表示的距离.[4]两个绝对值不等式：丨兀lva(d>0)o；Ix>a(a>0)<=>・2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：;[3]完全平方差公式：.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1](a+b+c)2=[公式2]=/+2(立方和公式)[公式3]=a3-b3(立方差公式)说明：上述公式均称为“乘法公式”.3.根式[1]式子^>0)叫做二次根

2、式，其性质如下：(1)(V«)2=:(2)[a^=；(3)y[ab—:(4)[2]平方根与算术平方根的概念：叫做Q的平方根，记作x=±V^(6t>0),其中荷(ano)叫做a的算术平方根.[3]立方根的概念：叫做a的立方根，记为x=^4.分式AA[1]分式的意义形如一的式子，若〃中含有字母，J1.BH0,则称一为分式.当"0BBA时，分式一具有下列性质：（1）:（2）BAA[2]繁分式当分式空的分子、分母中至少冇一个是分式时，仝就叫做繁分式，如BBm+斤+p2m'n+p说明：繁分式的化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基木性质.[3]分母

3、（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1解下列不等式：(1)

4、兀-2

5、<1(2)

6、x-l

7、+

8、x-3

9、>4.例2计算：(1)(x2-V2x+—)2(2)—-}-—mn+—n2)35225104(3)(d+2)(a—2)(d"+4a$+16)(4)(x2+2xy+y2)(x2—xy+y2)2例3已知兀2_3兀=]=0,求疋+丄的值.X例4已矢Wa+b+c=0,求a（—+—）+b（—+

10、—）+c（—+—）的值.bccaab例5计算（没冇特殊说明，木节中出现的字母均为正数）：(1)(2)J(l-x)2+J(2-x)2(x>l)2+V3(3)(4)设兀2+巧_2-^32-V3°_2+V3例7化简：(1)——-——I-X卄―rx-x—279x—x6+2x（1）解法一：原式X—XX5——x2-lX(l-x)-xX+―:(x+l)U-l)X_Xx+兀一XXX+1兀+1兀(兀+1)_X+1X2X解法二原式二X(%——)•％XX丄兀(1一兀)x+—x2-lx(x+l)x+1XXX2+X-XXXX+1(2)解：原式x2+3x+96xx-16x-1=(x-

11、3)(x2+3x+9)x(9-x2)2(3+x)x-3(x+3)(x-3)2(x-3)2(兀+3)_12_(兀_1)(兀_3)__(兀_3尸_3_兀2(x+3)(兀一3)一2(兀+3)(兀一3)一2(x+3)说明：（1）分式的乘除运算-•般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；（2）分式的计算结果应是最简分式或整式.【巩固练习】1-解不等式

12、x+3

13、+

14、x-2

15、<72.心君F,求代数式的值.j2>23・当3a彳+“—2/异=0(qH0,bH0),求纟—上—+的值.haah4.设"竽，求八宀22的值.5.计算(兀+y+z)(-x+y+z

16、)(x一y+z)(x+y-z)6.化简或计算:仃)(a/F^—4_^^+—)(2)2^^--V2—^(2—^5)x[x+Xy[yx+y[xy+y^y~y2x4x-yy[y答案：例1(1)解法1：由x-2=0，得x=2；①若x>2,不等式可变为x—2vl,即xv3；②若x<2,不等式可变为—(x-2)l.综上所述，原不等式的解为1vx<3.解法2：

17、x-2

18、表示/轴上坐标为/的点到坐标为2的点Z间的距离，所以不等式

19、x-2

20、<1的儿何意义即为/轴上坐标为/的点到坐标为2的点之间的距离小于1,观察数轴町知坐标为/的点在坐标为3的点的

21、左侧，在坐标为1的点的右侧.所以原不等式的解为1v兀v3・解法3：卜一2

22、vlo—lvx—2vlolvxv3,所以原不等式的解为1<兀<3・(2)解法——:illx-1=0,得x=l；由x-3=0,得x=3；①若xvl,不等式可变为—(x-l)-(x-3)>4,即—2兀+4>4,解得%<0,又.・」<0；②若1SV2,不等式可变为(x-l)-(x-3)>4,即1>4,・・・不存在满足条件的上③若x3,不等式可变为(x-l)+(x-3)>4,即2x-4>4,解得Z>4.乂/M3,>4.综上所述，原不等式的解为x<0,或x>4・解法二：如图，卜-1

23、表示*轴上坐标

24、为/的点尸到坐标为1的点