专题一：数式的运算.doc

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1、★专题一数与式的运算【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即．[2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：表示的距离．[4]两个绝对值不等式:；．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1][公式2](立方和公式)[公式3](立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”．3．根式[1]式子叫做二次根式，其性质如下：(1)；(2)；(3)；(4)．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方

2、根．[3]立方根的概念：叫做的立方根，记为4．分式[1]分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：（1）；（2）．[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1解下列不等式：（1）（2）＞4．例2

3、计算：（1）（2）（3）（4）例3已知，求的值．例4已知，求的值．例5计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）（3）（4）例6设，求的值．例7化简：（1）（2）（1）解法一：原式=解法二：原式=（2）解：原式=说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1．解不等式2．设，求代数式的值．3．当，求的值．4．设，求的值．5．计算6．化简或计算：(1)(2)(3)(4)答案：例1（1）解法1：由，得；①若，不等式可变为，即；②若，不等式可变为，即，解得：

4、．综上所述，原不等式的解为．解法2：表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为．解法3：，所以原不等式的解为．（2）解法一：由，得；由，得；①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若，不等式可变为，即＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．解法二：如图，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间

5、的距离

6、PA

7、，即

8、PA

9、＝

10、x－1

11、；

12、x－3

13、表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离

14、PB

15、，即

16、PB

17、＝

18、x－3

19、．所以，不等式＞4的几何意义即为

20、PA

21、＋

22、PB

23、＞4．由

24、AB

25、＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．所以原不等式的解为x＜0，或x＞4．例2（1）解：原式=说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．（2）原式=（3）原式=（4）原式=例3解：原式=例4解：原式=①②，把②代入①得原式=例5解：（1）原式=（2）原式=说明：注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．（3

26、）原式=（4）原式=例6解：原式=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．【巩固练习】1．2．3．或4．5．6．