微积分复习资料讲义

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1、微积分讲义lim(1+—)'=ex—>+兀2.lim(sin^n+-sinV^)/?—>+oo(1_仮)(1_奴)・・・(1_呵(1一汀4.limXT()极限篇一、首先回顾一下两个重要极限：lim沁=11limxsin—、tO%sinsinsinxslimjx练习l.limx(—-arctan•XT84jlx2limxtan(arctan)•XToo41+Xid4lim■>oo3"—2二、基本的无穷小量等价替换当兀T0时,兀〜sinx〜arcsinx〜tanx〜arctanx〜ln(l+x)〜ex一11-cosx〜；(1+x)"—1〜ca.d

2、ydx求导篇l・y=y(x)是由方程111(/+)；)=兀'+$山兀所确定,求2•已知x3+y3-x2dy_』+巧二］,求.d2y1dx2(x,y)=(lJ)1.求导：1x(l-x)④y=lnV^+lnJ%+眉+lnJx+J兀+低4.(复合求导)已知/(x)—阶导数存在，y=f(ex).e/(x)，求八5.(反函数)已知“din吐血三(Ovyvd)，求字，与yaxdx~6若才=xyr求dy・练习=arcsin+无小/求如2.y=arcsin2微分定理篇(注：标记△为稍难题)1•设q)+¥+…+上行=0,证明方程/)+4兀+・・・+色0=0在(0,1)内

3、必有实根.277+12•设f(xg(x)在［a,b］上二次可导，且g"(兀)HO,f(a)=/(/?)•g(a)=g(b)=0.证明：①在区间(d，b)内g(x)H0;②在区间说)内至少註-館使焙=碍3.函数/(兀)在［0,1］上连续,在(0,1)内可导，且有/(1)=2/(0)证明在(0,1)内至少有一点§，使(1+§)/'©=/(勺成立A4./O)在［0,+oo)上二阶可导,且f(x)

4、/(0)

5、+

6、f(a)

7、上存在两点兀

8、工兀，使/©)+/'(兀2)=2A6•函数/(兀)在［-2,2］上二阶可导,且

9、/(兀)

10、<1,Xf(0)+［f(0)『=4证明：在(-2,2)内至少存在一点§，使M)+/V)=07.求极限®lim兀一＞0+X—1ax-a^x②xtOX®limXT8.2sin—+cosx丄丫X丿]、④lim帀—cot?兀A—»0、兀/8•设广©)存在，且lim缪=2,求广©)・•YT8对9•设/(%)二x2sinx，求/(99)(0)•io.设f(x)在[0>2]±二阶可导，且f(x)<1,r(x)

11、/'U)

12、<2.11.设厂

13、⑴>0,且lim旦么1,证明f(x)>x.入TOX412.函数f(x)在x=0的某一邻域有二阶导数，且问(1+兀+山耳=/求厂(0).XT°X413.设f(x)在［0,1］上二阶可导，且/(0)=/(I)=0zminf(x)=-1=-lzilE明至少存08.不定积分篇xearctanxdx(1+x2)2rdxx6(l+x2)1+sinx1+cosxexdx特别鸣谢：张益硕学长钟撼学长