第二单元基本初等函数及其运算

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1、笫二单元基本初等函数及其运算君一背几类基本初等函数一、学习目标通过本节课的学习，了解基本初等函数的图形和基本属性.二、内容讲解定义1.6——基本初等函数在中学的学习中已经认识了一些函数，这些函数是非常基本的，有这样几类:1•常数函数：尸C.这个函数在它的定义域中的取值始终是一•个常数，它在直角坐标系屮的图形就是一条水平线.2.幕函数：y=xa,(aER)・以兀为底，指数是一个常数.当Q=1时就是尹二兀，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当a=2时就是夕二/,它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当吋就是尹=疋，它的图形是过原点的

2、立方曲线.3.指数函数：尸几(Q0,狞1).底数是常数,指数是变量.例如尸吐y=2尸辽几所有指数函数的图形都过(0,1)点，当Q>1时，函数单调增加，当水1时,函数单调减少.4.对数函数:y=logaX,(q>0,q工1)・以a为底的x的对数.例如尸lnx,y=log2兀,logix尸2.所冇对数函数的图形都过(1,0)点，当Q>1时，函数单调增加；当水1时,函数单调减少.5.三角函数：正弦函数：尸S加¥・余弦函数：尸COSX・思考问题：常数函数可否视为幕函数的一个特例？答案常数畅数不能视为幕函数的特例，因为除了常数西数尸1以外，

3、其它的常数函数都不是幕函数.三、例题讲解例题1•判断下列函数中，哪些不是基木初等函数:(1)y=>%2:(2)『=(+)*；(3)y=/g(—x)；f—(4)y=x^5；(5)尹=x"；(6)y=e2x・分析：依据基本初等函数的表达式來判断.y=寸A=兀§解：直接观察可知⑵与⑷屮的函数是基本初等函数，而由,^=e2A=(e2)v,可知(1)与(6)屮的函数是基本初等函数.(3)与(5)屮的函数不是基本初等函数.四、课堂练习1•作出下列函数的图形：(1)y=x~3；(2)y=2~x；(3)y=ln{—x).2.在同一坐标系中作11!y

4、=2A,y=x,y=/og2X的图形，从图形上观察这三个函数满足什么关系.弟=考函数的运界一、学习目标通过木节课的学习，了解函数Z间的运算，主要是复合运算.二、内容讲解函数的运算当然有加、减、乘、除运算，这些就不需耍讲了.在这里我们主要将函数的复合运算.所谓复合运算，就是指如果尹是“的函数，"是X的函数，尹通过U作为中间媒介就成为兀的函数，这就是函数的复合运算.如下面这个例子表示的y=inu・u=sinx.^=lnsinx这里尹是“的函数，"是x的函数，y通过况作为屮间媒介就成为兀的函数,这就是函数的复合运算•下而把这个复合的步骤以

5、及它们的变域联系起来仔细地介定义1.7复合函尹是"的函数，这个函数用/来表示."是x的函数，这个函数用卩来表示・°的值域正好落在函数/的定义域里，经过"作为媒介尹就成为x的函数，这个复合函数的定义域是这样一个（红色）区域，它的值域就缩小成为这样一个（绿色）区域了.这是为什么呢？因为工在它的定义域内变化吋，u仅在这样一个（黄色）区域取到值，和应的尹的取值范围就缩小成为这样一个（绿色）区域.复合函数的记号就记为尸/S（x））・这种运算就叫做函数的复合运算.这样我们把函数分一下类：定义1.8——初等函数由基本初等函数经过有限次加、减、乘、

6、除或复合而得到的函数称为初等函数.这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数.我们在前面所见到的分段函数就是非初等函数的例了.思考问题1：为什么要求U=4)(x)的值域包含在U中？答案:如若不然，存在丸勿，但(p(x^U,贝I」此时f((p(x。))没有意义.三、例题讲解例1已知函数尸/(x)的定义域为[0,1],求函数y=g)的定义域.分析：要使函数"=才的值域包含于函数円(兀)的定义域小，由这个约束条件重新确定x的取值范围.解：设歼e",它的値域耍包含Ty=/(x)的定义域中，即0

7、ev

8、w=x+2(2)y=uv,u=2A,v=Invv,vv=p?,p=cosx四、课堂练习将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算:(])尹=xln(x+J*?+1)(2)^=sin2(x2)五、课后作业1.已知函数y=f(x