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1、12.2平方根和开平方(1)一、问题导入1.小丽家有一张方桌，桌面是面积为64平方分米的正方形，这个正方形桌面的边长是多少？2.解答：设正方形桌面的边长为x分米,则可得:x2=64,因为x>0,所以x=8・3•思考：上述问题可以归结为“已知一个数的平方，求这个数”•在解决问题时,我们联想到了哪一种运算？二、学习新课1、概念辨析：(1)已知一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根，即x-a,我们把x叫做a的平方根，a叫做被开方数.(2)求一个数a的平方根的运算叫做开平方运算.【强调】平方运算和开平方运算互为逆运算.2.例题分析：求下列各数的平
2、方根，并根据你的解答过程总结：正数、0、负数的平方根有什么不同？9(1)0.16;(2);(3)0.25解:因为(土0.4)2=0.16,所以0.16的平方根是±0.4.因为不存在一个实数的平方根为-三，所以-三无平方根.2525因为0M,所以0的平方根为0.3•性质归纳：(1)因为任何一个实数的平方都是非负的，所以负数没有平方根；(2)因为任何一对非零相反数的平方都是同一个正数，因此正数a有2个不同的平方根，记作“土侖”，它们互为相反数，其屮表示正的平方根(也可以称算术平方根)，读作“根号3”・(1).因为0的平方等于0,所以0的平方根就是0
3、,BP：±Vo=0.【说明】“馆”是一个数学符号，其意义是：非负数a的算术平方根，同时它也••表示一个数，这个数的平方等于a,即(Va)2=a.三.问题拓展思考1：由以下计算你能否发现并总结某些规律?(1)J-®?的意义是什么?(2)(V3)2的意义是什么？(3)(-V3)2的意义是什么？(4)(口)2的意义是什么?(5)计算：｛(*)2二(-歼二J®二？(V3)2=?(-V3)2=?(口)2=?J(-y=(v?)2=_J1O-2二q(-10)-2二2・规律总结:(1).品表示/的正平方根，因为a2^o,所以二
4、a
5、
6、.(2).(石卩表示数a的
7、正平方根的平方，根据平方根的意义，这里的a20,冃(Va)2=a；(-循)2表示数且的负平方根的平方，根据平方根的意义，必有a^O,且(-Va)2=a；综上所述，(±Va)2=a.四、巩固练习1.下列等式是否正确？不正确的请说明理由并加以改正.(1)^9=-7;(2)J(—2)2=2;(3)-J(-5)2=5;(4)两二土91.求下列各数的正的平方根：9(1)225；(2)0.0001；(3)上一・1212.若2m-5与4m-9是同一个数的平方根,求m的值.【说明】练习3对“同一个数的平方根”需要进行分类讨论:一种情况是2m-5与4旷9是一个数
8、的两个相反的平方根；另一种情况是2m-5与4m-9是一个数的同一个平方根.五、课堂小结1.对学生而言，开平方运算和平方根不易理解的最大原因是：它不同于其它任何一种已经学过的数学运算.到目前为止，学生学过的五种运算都有唯一的运算法则和运算结果，对不同的数不需要讨论运用不同的运算方法；但求一个数的平方根吋，首先耍根据已知数的止负性选择不同的运算性质，而且每种数自不同的运算结果：止数的平方根有两个，且互为相反数，而0的平方根只有一个：0；负数没有平方根.因此在教学时，应该让学生充分理解平方运算和开平方运算的互逆关系，根据平方运算结果的非负性自然地理解
9、并接受平方根的意义和运算性质.建议这里的教学可以多花一点吋间，多举一些实例进行说明.2.在生活中，开平方运算不如其他运算运用广泛，对学生而言比较抽象而陌生，因此，体验开平方运算的实际意义和背景就非常必要了.本节课设计用与课本类似的实际问题引入新课，意在于此•但在课后学生出现的最大问题是：求正数的平方根时往往漏掉负的一个，本人认为与课堂引入问题的结果只保留了正的一个有部分关系•因此，建议在课堂引入时，可以采用纯数学问题：“如果一个数的平方等于64,这个数是多少？”3.在平方根概念屮隐含了分类讨论数学思想，在教学屮应该加以渗透，从而培养思维的严密性
10、，在课堂练习时也可以适当补充类似的问题，加深对概念的理解.4.要理解公式二
11、a
12、"和“（土需）彳二/超出了学生的思维发展水平，因此我在教学时的处理方式是：（1）用大量的具体数字的运算结果推出结论并加深印彖，这是设问题拓展的原因，意在通过一止一负两种问题的反复比较，让学生产生聘20的印象，然后归纳出“圧=a
13、”•（2）通过对“（Q）2的意义和计算结果”的讨论，达到对“（口）2无意义”的理解，从而总结出“（土需）成立的前提条件是：.对部分理解能力相对较弱的学生，笔者认为可以放低要求，对含字母的运算不作要求.
