玉林高中2015级培优班数学补充资料(14)指数型函数不等式恒成立问题中的连锁反应

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1、玉林高中2015级培优班数学补充资料(12)指数型函数不等式恒成立问题中的连锁反应班别：姓名：例2、设函数f(x)=e”若对于所有的x>0,都有>&¥成立，求实数日取值范围。例2.对任意/>0,不等式//+e~x>ax2+1恒成立，求实数a的取值范围。例3.己知函数f(x)=ev一尹一2<(I)讨论f(x)的单调性；(II)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0吋，g(x)>0,求b的最大值;(III)己知1.41420时，/(兀)5丄求实数a的取值范围。

2、ax+1例题5、己知函数/(x)=ln兀，g(兀)是/(兀)的反函数。1r(1)求证：当X>0时，/(X+1)>——X"+X;2(2)若g(x)+g(-x)<2g(mx2)対任意xeR恒成立，求实数m的取值范围。玉林高中2015级培优班数学补充资料(12)指数型函数不等式恒成立问题中的连锁反应答案1解：记F(x)=f(x)-ax=ex-e~x-ax,依题意，对所有的>0,都有F(x)>0,注意到厂(0丿=0,求导得Ff(x)=『-Ff(Q)=2-aF”(x)=/一尹>Q(x>0丿，得Ff(x)在［0,+co)上递增,分类讨论：若已<2,则Ff(x)>2-^>0

3、,得F&丿在［0,+co)上递增有F(x)>F(0)=0,合题意；若臼>2,则F(x)<0,得x0,都有>0,注意到"0丿=0,求导得ff(x)=(x+)ex-e~x一2ax,ff(Q)=0f”(x)=(x+<2)ex+尹-2a,f"(Q)=3-2日F”(x)=(x+3)cx-e~x>Q(x>0/得f”(x)在［0,+oo憾增分类讨论如下(讨论的标准是3-2臼的正负)：若a<

4、f则f”(x)>f”(0)>0,得/YQ在［0,+co)上递增有f'(x)>m)=0,得壮丿在［o,+co)递增，有f(x)>f(Q)=0合题意若a>-f贝iJ/70?<0,又/TO；<0,又r(ln2a)>(In2臼+2)严-2a=(In2a+2丿2">02故由零点存在性定理可知fn(x)在(0,+oo)上有唯一零点召，且当0vX<仏时，f”(x)<0,得fix)在(0,池丿递减，有ff(x)<厂(0丿=0,得在e竝丿递减，有"q

5、F(x)$0,当且仅当ex=e'x即x=0时,f(x)=0,・・・函数f(x)在R上为增函数.(II)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e2x-4b(ex-ex)+(8b-4)x,则g(x)=2[e2x+e'2x-2b(ex+e_x)+(4b-2)]=2[何+厂2〃(盯+厂)+4—4=2(盯+厂—2)(/+厂—2方+2),因为ex+e~x-2>Q(x>0),下面关注exe~x-2b+2的正负。已知函数y=ex+£一"・2方+2在(0，+00)上单调递增，贝ijyw(J(0)?+oo)=(4-2Z>,+oo).若b52,贝O>0,y(x)>0得g(x)

6、在(0,+oo)上单调递增，有,g(x)>g(0)=0合题意;若b>2,令0“+£7.2〃+2<0，得xvlnG—1+俗一2方)，则当0vxv】n0-l+时，J<0,g，(x)<0,得g(x)在(0,111@-1+松一2〃)上单调递减，有g(x)

7、-2V2b+2(2b-l

8、)ln2-当b=2时'由g(x)>0,得g(in■-4j^+61n2>0‘乙从叽2>窖海严=0.6928；令ln(b-l+7b2-2b)=lnV2,得b二'于+1>2,当0

9、~-2V^+(3>/^+2)ln2<0,得1n2<<18+k4143<0.6934・所以In2的近似值为0.693.2828例4解：当avO时，若x>--,则—JvO,而/(x)>0,故/(x)<^-不成立，舍去;aax+1ax+Y当a>0时，f(x)<<^>(ax+])f(x)-x<0,ax+记F(x)=(«x

10、+l)/(x)-x,F(0)=/(0)