高中数学不等式恒成立问题中的参数求解技巧

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时间:2019-08-14

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1、不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中,有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题,涉及的知识面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,是同学们学习的一个难点,同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有:①用一元二次方程根的判别式,②参数大于最大值或小于最小值,③变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例,从不同角度用常规方法归纳,供大家参考。一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可

2、使问题得到顺利解决。例1对于x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围。解:不妨设,其函数图象是开口向上的抛物线,为了使,只需,即,解得。变形:若对于x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围。此题需要对m的取值进行讨论,设。①当m=0时,3>0,显然成立。②当m>0时,则△<0。③当m<0时,显然不等式不恒成立。由①②③知。关键点拨:对于有关二次不等式(或<0)的问题,可设函数,由a的符号确定其抛物线的开口方向,再根据图象与x轴的交点问题,由判别式进行解决。例2已知函数,在时恒有,求实数k的取值范围。解:令,则对一切恒成立,而是开口向上的抛物线。①当图象与x轴无交点满

3、足△<0,即,解得-2

4、,,可得。由恒成立,即求的最小值。设。因为增函数,所以当x=1时,,可得a≤0。由①②知。关键点拨:在闭区间[0,1]上使分离出a,然后讨论关于的二次函数在上的单调性。例4若不等式在x∈[1,2]时恒成立,试求a的取值范围。解:由题设知,得a>0,可知a+x>1,所以。原不等式变形为。,即。又,可得恒成立。设,在x∈[1,2]上为减函数,可得,知。综上知。关键点拨:将参数a从不等式中分离出来是解决问题的关键。例5是否存在常数c使得不等式,对任意正数x、y恒成立?试证明你的结论。解:首先,欲使恒成立(x、y>0),进行换元令。∴上述不等式变为,即恒成立。寻求的最小值,

5、由用心爱心专心a>0,b>0,利用基本不等式可得。同理欲使恒成立,令,得∴上述不等式变为,即。寻求的最大值,易得。综上知存在使上述不等式恒成立关键点拨:本题是两边夹的问题,利用基本不等式,右边寻找最小值,左边寻找最大值,可得c=三、变更主元在解含参不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到的效果,使问题能更迅速地得到解决。例6若不等式,对满足所有的x都成立,求x的取值范围。解:原不等式可化为令是关于m的一次函数。由题意知解得∴x的取值范围是关键点拨:利用函数思想,变换主元,通过直线方程的性质求解。例7已知是定义在[-1,1]上的奇函数且,若a、b∈

6、[-1,1],a+b≠0,有。(1)判断函数在[-1,1]上是增函数还是减函数。(2)解不等式。(3)若对所有、a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围。解:(1)设,则用心爱心专心,可知,所以在[-1,1]上是增函数。(2)由在[-1,1]上是增函数知解得,故不等式的解集(3)因为在[-1,1]上是增函数,所以,即1是的最大值。依题意有,对a∈[-1,1]恒成立,即恒成立。令,它的图象是一条线段,那么。关键点拨:对于(1),抽象函数单调性的证明往往借助定义,利用拼凑条件,判断差的符号。对于(2),后一步解不等式往往是上一步单调性的继续,通过单调性、函数值的大小转

7、化到自变量的大小上来。对于(3),转换视角变更主元,把看作关于a的一次函数,即在a∈[-1,1]上大于等于0,利用是一条直线这一图象特征,数形结合得关于m的不等式组,从而求得m的范围。用心爱心专心

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