用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算

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1、用数学方程描述的非圆曲线的轮廓数值计算数控加工小把除了直线与圆弧之外用数学方程式表达的平面轮廓曲线称为非圆曲线。非圆曲线的节点就是逼近线段的交点。一个已知曲线y=/（兀）的节点数目主要取决于所用逼近线段的形状（直线或岡弧）、曲线方程的特性以及允许的拟合误并。将这三个方面利用数学关系來求解，即可求得相应的节点坐标。卜•面简要介绍常用的直线逼近节点的计算方法。（1）等间距直线逼近的节点计算1）基本原理等间距法就是将某一坐标轴划分成相等的间距，然后求出曲线上相应的节点。如图3.1所示，已知曲线方程为y=/（x）,沿X轴方向取△兀为等间距长。根据曲线方程，由兀•求得）1,Xy+1=X.+AX,图3.1

2、等间距直线逼近儿］=/（X,.+心），如此求得的一系列点就是节点。2）谋差校验方法由图3.1知，当心取得愈人，产生的拟和误差愈大。设工件的允许拟合误差为§,一般§取成零件公差的1/5〜1/10,要求曲线y=/（兀）与相邻两节点连线间的法向距离小于§。实际处理吋，并非任意相邻两点间的误差都要验算，对于曲线曲率半径变化较小处，只需验算两节点间距最长处的误差，而对曲线曲率变化较大处，应验算曲率半径较小处的误差，通常由轮廓图形直接观察确定校验的位置。其校验方法如下：设需校验加曲线段。加和〃的坐标分别为（心亠）和（£,儿），则直线讪的方程为:令A二儿，-儿,B二兀-心，C=ymxn-Xmynf则上式可改

3、写为A兀+By二C。表示公差带范围的直线加分与加〃平行，且法向距离为8O直线方程可表示为:Ax+By=C±6^A2+B2式中，当直线加'在〃m上边时取"+”号，在mnb边时号。联立求解方程组:y=/COAx+By=C±8^A2+B2图3.2等步长直线逼近上式若无解，表示直线加*不与轮廓曲线）y/（兀）相交，拟合误差在允许范围内；若只有一个解，表示直线加”与尸/（兀）相切，拟合误差等于，若有两个解，且兀尺兀冬兀”，则表示超茅，此时应减小心重新进行计算，直到满足要求为止。（2）等步长直线逼近的节点计算这种计算方法是使所有逼近线段的长度相等，从而求出节点坐标。如图3.2所示，计算步骤如下：1）求最小

4、曲率半径7?伽曲线丁=/（力上任意点的曲率半径为：取dR/dx=O,即：3#严一（］一）,,2）尹=0根据求得才、）/、）严，并代入上式得X,再将兀代入前式求得/?罰。2）确定允许的步长/rtr丁曲线各处的曲率半径不等，等步长后，最大拟合误差&和必在最小曲率半径尺斷处。因此步长应为：3）计算节点坐标以莒线的起点Q（乙，儿）为圆心，步长/为半径的圆交y=/（x）于b点,求解圆和曲线的方程组：f（x-xj2+（y—儿）2=/2y=/⑴求得b点坐标（xb,yb）o顺序以方、c……为圆心，即可求得c、d……各节点的坐标。由于步长/决定于最小曲率半径，致使曲率半径较大处的节点过密过多，所以等步长法适用

5、于曲率半径相差不大的曲线。（3）等误差直线逼近的节点计算等误差法就是使所有逼近线段的误差》相等。如图3.3所示，其计算步骤如下：1）确定允许误差/的圆方程以曲线起点。（兀，儿），为岡心，/为半径作岡，此鬪方程式为：（x-xj2+（y-儿尸=322）求圆与曲线公切线PT的斜率k„・X图3・3等谋差亢线段逼近O其中心、无八儿、儿由下面的联立方程组求解:)S=J^2_(兀户_兀“)2+儿（圆切线方程）（圆方程）（曲线切线方程）（曲线方程）3）求弦长弘的方程过0作直线PT的平行线，交曲线于”点，“的方程为:y—儿,=k(x-xa)4）计算节点坐标联立曲线方程和弦长方程即可求得b点坐标（勺，儿）。fy-

6、y“=k（x-xa）Ly=/⑴按上述步骤顺次求得c、d、e……各节点坐标。由上可知，等误差法程序段数目最少，但计算较复杂，可用计算机辅助完成。在采用直线逼近非圆曲线的拟合方法屮，是一种较好的方法。