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《浦东暑假新高三数学补课双曲线典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。22例1讨论=1表示何种圆锥曲线，它们冇何共同特征.25-£9-k分析：由于kH9,£h25,则£的取值范围为k<9,9<£<25,Rv25,分别进行讨论.解：(1)当k<9时，25-鸟>0,9-鸟〉0,所给方程表示椭圆，此时/=25—b—9-k,cC=V6,经过点(一5,2),焦点在兀轴上.与双曲线务汁】有相同焦点，且经过点佔222解：(1)设双曲线方程为—+^-=1mnvP、Q两点在双曲线上,9225_m16n25625(、9mn?7••・所求双曲线方程为詁討=a2-b2=16,这些椭圆有共同的焦点(一4,0),(4,
2、0).(2)当9<£<25吋，25—£〉0,9—£<0,所给方程表示双曲线，此时，。2=25—比，b2=9-k,c2=a2+b2=l6,这些双曲线也有共同的焦点(一4,0),)(4,0).(3)k<25,k=9,£=25时，所给方程没有轨迹.说明：将具冇共同焦点的一系列圜锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些£值,画出其图形，体会一下儿何图形所带给人们的美感.二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。解得例2根据下列条件，求双Illi线的标准方程.<15)(16"3,，Q——,514J13丿(1)过点P11焦点在处标轴上.说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求
3、”的戸的・（2）V焦点在X轴上，c=V6,X2y2•••设所求双曲线方程为：=1（英中0<2<6）A6—2254・・•双曲线经过点（一5,2）,=1A6—2:.A=5或久=30（舍去），.所求双曲线方程是「宀1说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.22（3）设所求双曲线方程为：=1（0
4、一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学屮应该注重的一个重要方面・三、求与双曲线有关的角度问题。22例3已知双曲线£■-話=1的右焦点分别为好、坊，点P在双Illi线上的左支上且
5、P用『笃
6、=32,求ZFtPF2的大小.分析：一般地，求一个用的人小，通常要解这个和所在的三用形.解：•・•点P在双曲线的左支上・・・
7、砒
8、-朋
9、=6・•・PFf+PF2f-2PF^PF2=3672•••PF「+P/V=100・.・f；^
10、2=4c2=4（tz2+Z?,2）=100・・・Z肘场=90’说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.（
11、2）题忖的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。r2例4已知片、佗是双曲线y/=1的两个焦点，点P在双曲线上JL满足Z耳閃=90°,求4FxPF2的面积.分析：利用双曲线的定义及笃中的勾股定理可求bF'PF?的而积.工2解:VP为双曲线y-/=1±的一个点且斤、坊为焦点.・•・=2a=4fF}F2=2c=2^5・・・z片p竹=9（r・••在RAPF'F?中，+『竹『=
12、片鬥『=20•・・Q戸可—
13、）2=
14、+1P&f一2『引p列=16・・・20—2『
15、引P鬥
16、=16・・・PF^PF2=2说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点片（-5,0）、坊（5,0）,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹.分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹.解：根据双曲线定义，对知所求点的轨迹是双曲线.Tc=5,a=3b2=c2-a2=52-32=4?=1622・••所求方程乂-乂=1为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线.916例:P是双曲线右-看=1上一点，片、鬥是双曲线的两个焦点，且阿1=17,求PF2的值.分析：利用双Illi线的定义求解.22解：在双曲线
17、—=1中，a=8,b=6,故c=10.6436由P是双曲线上一点,得
18、阴-阴
19、=16・:.PF2=^PF2=33.^PF2>c-a=2.得阳=33.说明：本题容易忽视PF^>c-a&一条件，而得出错误的结论
20、P笃
21、=1或『珂=33.说明：(1)若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算.(2)如遇到动点到两个定点距离Z差的问题，一般可采用定义去解.六、求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心M的轨迹方程：(1)1j0C：(x+2)2+/=2内切，且过点A(2,0)(
