牛顿插值法在平面凸轮廓线分析中的应用

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1、牛顿插值法在平面凸轮廓线分析中的应用赵天骄090401090401125【摘要：】在已有文献中提出的凸轮廓线方程式，大多是以凸轮转角为参数的函数，但生产实践中耍求凸轮廓线的向径是以向径角为参数的函数。本文讨论了应用牛顿差值函数解决这个问题。该方法灵活简便，易于进行误差估算。一般悄况下，高速包装机械凸轮工作廓线的设计多采用解析法，这样既保证凸轮的运动特性，乂便于对凸轮机构进行运动学和动力学分析，因此在不同的工作情况下，凸伦设计的解析方程往往是不同的。这样虽能保证凸轮的精度，但同时也对凸轮在实际使用中的修正提高了难度，所以要采用某些方法来

2、使凸轮的工作廓线的修正来变得简单，这个方法就是牛顿插值法。【关键字：】凸轮;牛顿插值法；精度1.前言凸轮机构在高速包装机械设备中广泛应用，是一种不可代替和缺少的重要机构。木文利用牛顿插值法，提出-•种简单实用的凸轮廓线的修正设计方法，这种方法不必再去考虑原有的解析方程的形式，只需通过対要修正的曲线附近的一些离散点的数据进行处理，就能对现有凸轮工作廓线进行修正，特别适合凸轮曲线在实际使用中的的局部修正设计。以上情况属于已知一个函数表，需要求其他点上的函数值问题，通常通过构造一个与已知函数表中的数据相适应的函数，此函数称为插值函数。2.算

3、法描述2.1算法的原理若已知的仅是y=/（x）的函数表（1）XXoX1兀2•…y=yoyi『2…其中/⑴在区间［a,b］±连续。“，小,・・・,为区间［a,b］上若干个互不相同的点。欲求其他点上的函数值，可以通过一个与表列数据相适应的函数来解决，即需求出一个满足P(xJ=开(i=0,1,2...,n)(2)的函数P（x）作为/（兀）的近似。本文采用次数不超过n的代数多项式作为插值函数，由线性代数知识，可以把满足式（3）的n次多项式写成代（兀）=兔）+绚（兀一兀（））+a2（兀一兀（））（兀一K）+...+an（x一x0）（x一比）・・

4、.（兀一“）（3）•其中，仇，4,…，鑫为待定系数，可由插值条件一满足式（2）确定。如果引入与差分和关概念一均差后，可使式（3）成为便于应用的插值多项式。由均差定义，以函数表（1）为例，y=/（x）的一阶均差为儿一儿[xpx2]=兀2一兀1二阶均差为“]/[幼宀]-/[尢0內]J[x0,坷宀]=Xo一兀0/%邑宀]=归M3心一"n阶均为y?r]_.f[旺，％2，...,兀]一.f[兀0，兀],…，兀I]JL牙o，牙]，•••，牙〃」—£一兀()由插值条件式(2)及均差定义，求得插值多项式(3)中的系数。%=儿=/(心)卫1=/[x0,

5、xI],a2=/[x0,xpx2],...,aw=/[观內,..•，兀」・。由此,式⑶成为牛顿基木插值多项，记作Nn(x)=Pn(x)=f(x0)+/[x0,x1](x-x0)+/[x0,x1,x2](x-x0)(x-%!)+...+/[兀0小，・・・,©](兀一兀0)(兀一兀1)..・(兀一兀心)((4)在数值计算中，以n次插值多项式Pn(x)近似代替/(x),即/o)n由插值条件式(2)知，再节点坷(心0丄…必)上不存在误差,但在其他点上兀w[a,甸上,代(x)与/(x)-般是有误差的。这个误差称为插值多项式巴(x)的余项或称为用

6、化(兀)近似代替/(切时的截断谋差，记作RnM=f(x)-Pn(x)经过数学演算，看得到用均差表示的余项公式为R"(X)，…,兀“，£+1](兀一兀0)(x一兀

7、)・・・(x-£)(5)为了将式(4)以及(5)应用与凸轮廓线分析，以及坐标仇0,...,仇和Qo,P,...,Pn分别代换无)，州，...，£和儿，『1，...,儿,得至I」Nn3)=/(%)+/[&,即(&-&0)+/[仇0,02〕(&-&0)(&-&

8、)+…+f[0.,G，…,0n](0-仇)(0-即…(0-On_})他（&）~/［仇0,・・•，仇，仇（（&—%）（&

9、—即…（0—仇）（7）2.2算法的思想本文应用牛顿插值法，提出了一种简单、实用的凸轮工作丿郭线的修正设计方法，这种方法不必要再去考虑原有解析方程的形式，只需通过对要修正的曲线附近的一•些离散点的数据进行处理，就能对现有凸轮工作廓线进行修正，特别适合凸轮Illi线在实际实川屮的局部修正设计。3算法仿真高速包装机上有一凸轮，其工作廓线共有分A、B、C三段，在实际的使用中发现A段和C段的行程符合设计要求，而B段的行程必须进行修止设计。已知凸轮A段曲线数据,如表1所示。表1239240241242243/（A）14.22714.0313.85

10、413.68113.526已知凸伦C段曲线数据，如表2所示。表2249250251252253/（兀）13.09813.09513.08513.06713.039以兀=242,243,249,250这四个点的数据用三次牛