波利亚探索法小字典

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1、探索法小词典之一提j自波利亚《怎样解题》1.类比类比就是一种相似。相似的对彖在某个方而彼此一致，类比的对象则其相应部分在臬些关系上相似：（1）长方形可与长方体类比。事实上，长方形各边Z间的关系与长方体各面Z间的关系相似：长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂直。长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂直。让我们边称为长方形的边界元素，而面称为长方体的边界元素，则前述两个命题可合而为一并可同等地应用于这两个图形：每一边界元素恰与另一边界元素平行，而与其余的边界元素垂直。这样，我们就将所比

2、较的两个系统的对彖（即长方形的边与长方体的面）的某些共同关系表达出来了。这两个系统的类比存在于关系的共性之中。（2）在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了类比。类比可在不同的水平使用。人们常常使用含糊不清的，夸大的，不完全的或没冇完全弄清楚的类比，但类比也可以达到数学精确性的水平。所冇各种类比在发现解答方面都可能起作用，所以我们不应当忽略任何一种。（3）在求解一个问题时，如呆能成功地发现一个此较简单的类比问题，我们会认为自己运气不错。在第十五节，我们原来的问题

3、是长方体的对角线，它的较简单的类比问题就是长方形的对角线，这个类比问题引导我们到达原问题的解答。我们将讨论这种类型的另一个例了。我们需要求解下列问题：求均匀四面体的重心。若不具备积分与物理知识，这问题是很困难的。在阿基米德与伽里略的时代，它是一个严肃的科学问题。因此，如果我们希望用尽可能少的预备知识来解决它，我们就应该寻求一个较为简单的类比问题。在平面上的对应问题很自然地就是下面的问题：求一•均匀三角形的重心。现在，我们有了两个问题而不是一个问题。但两个问题比起一个问题來可能还更容易回答一假定这

4、两个问题能巧妙地联系起来的话。（4）现在我们暂时把原来四面体的问题放在一边，而把注意力集中在有关三角形这一比较简单的类比问题上。为了求解这个问题，我们必须了解一些关于重心的知识。下列原理似乎是可信的而且提出它来也很自然：若-•物质系统S由几部分组成，每一部分的重心都位于同一平面上，则该平面也必包含此整个系统S的重心。对于三角形情况来说，这一原理给出我们所需要的一切。首先，它指出三角形的重心位于三角形的平而上。于是，我们可以把三角形看成由平行于三角形某边（图7小边AB）的许多个小条条（薄条条无限窄

5、的平行四边形）所组成每一个小条条（平行四边形）的重心显然是它的中心而所有这些中心位于连线CM上，C为与AB边相对的顶点，M为AB的中点（见图7）。4AfB图7通过三角形屮线CM的任何平而包含有三角形屮所冇平行小条条的重心。由此得出结论：整个三角形的重心就在这一屮线上。但是，根据同一理由它也必须在其他二条中线上，所以它必须是所有三根中线的公共交点。我们现在希望用纯几何方法（与任何力学上的假设无关）来证明三根屮线交于同一点。（5）在弄懂了三角形的例子之后，四面体的情况就相当容易了。因为我们现在已经解

6、决了一个和我们所提问题有类比关系的问题，所以一旦解决这个类比问题，我们就有了一个可以照着办的模型。在解决我们现在用作模型的类比问题中，我们设想三角形是由平行于其一边AB的平行小条条所组成的。现在我们设想四面休ABCD也由平行于其一棱AB的小条条所组成。组成三角形的小条条之中点全部位于同一直线上，即位于连接边AB的中点M与相对顶点C的那根三角形中线上。组成四面体的小条条的中点全部位于连接棱AB的中点M与对棱CD（见图8）的同一平面上我们不妨将此平面MCD称为四面体的小面。n在三角形情况下，我们有象

7、MC那样的三根小线，其小每一根都必须包含三角形的重心。因此，这三根中线必须交于一点，这一点就是重心。在四面休情况下,我们有彖MCD那样的六个中面（连接一条棱中点与其对棱的平而），其屮每个中而都必定包含四面体的重心。因此，这六个中面必交于一点，这一点就是重心。（6）这样，我们就解决了均匀四面体的重心问题。为了完成这个求解过程，现在我们需要用纯几何（与力学上的考虑无关）來证明六个中面通过同一点。当我们解决了均匀三角形的重心问题以后，我们发现,为了完成求解过程，需要证明三角形的三条屮线通过同一点。这个

8、问题可类比于上述问题，但显然较为简单。在解决四而体这一问题时，我们又可利用较简单的三角形类比问题（这里，我们假定它已经解决了）。事实上，我们考虑通过从D点岀发的三条棱DA,DB,DC的三个中而;每一屮而同时也通过对棱的屮点（通过DC边的屮而经过中点M,见图8）。现在，这三个中面和AABC所在平面交于该三角形的三个中线。这三条中线交于一点（这是前面较简单的类比问题的结果），而这点和D点一样也是三中面的公共点。连结这二个公共点的直线是所有三个屮面的公共线。我们证明了六个中面中通过顶点D的三个中面有一