数值计算(分析)实验报告1

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1、救曇鸟信息科曇曇旄实验报告课程名称:数值计算方法实验名称:函数插值实验类型：验证性■综合性□设计性口实验室名称：数学实验室班级学号：09072113邢宪平学生姓名:任课教师（教师签名）：成绩：实验日期：2012/3/18一、实验目的实验目的：熟悉matlab的使用以及matlab程序设计，熟悉并掌握拉格朗FI插值多项式的原理以及所设计的程序，以及牛顿插值多项式的原理以及所设计的程序。实验原理、程序框图、程序代码等实验原理：（1）、已知下列数据:X0.300.420.500.580.660.72y1.044031.084621.118031.156031.198171.232

2、23作五次插值，并分别求x=0.46,0.55,0.60时的近似值。采用构造的方法，直接构造一个满足插值条件的插值多项式。拉格朗日法构造的多项式形式如下:P（x）=Ln（x）=y（）lo（x）+yili（x）+•••+yhlh（x）n,称为插值基函其屮佃二,匸o,i,2,诂山-xj（X—兀（））・・・（兀-）（x,.一兀+］）•••（£—兀）片：数，且满足条件:1（（X）=

3、的函数值，并应用于下面的数据：X2021222324y1.301031.322221.342421.361731.38021求x=21.4吋的三次多项式的值。拉格朗日插值多项结构紧凑，理论分析方便。但当节点有所增减时，整个公式都将改变，因此使用不甚方便。为了克服这一缺点，引入如下便于计算的形式：P（x）=a（）+ax{x-x（））+a?（兀一兀（））（兀一兀i）—+%（兀_X］）…（兀一兀）其中兔），4为待定系数，由插值条件确定。当插值节点等距分布时:(1)令Xk=+kh(h=0,L…，n),x=X()+th,OWtWl,则得到牛顿前插公式:r>/tz.xAt{t—1)

4、2—1)…(/—M+1)〃其中向前差分小。=力—儿，『儿=Aw-,y1-Aw-1y0（^=l,2,...,n）.插值余项为:KQ)=/(Q—D=(h+1)!泸1严+】）©,矗（观心）(2)令xk=x0+kh(h=O,1,…，n),x=xn+th,-lWtWO,则得到牛顿后插值公式:D/A77jV7—1)V72—1)・••(/—/?+1)口他nlP(x)=N“(乙+也)=儿+r•V儿+2!V儿+・••+;V儿其中后向差分匸儿=儿_儿十w儿=v心儿-V〃Lfxl,2,・・・/）・插值余项为：巴（x）=/（劝-Nn（x）二&-1）・・半「）护+1f（-D©,兵（心占）（n+1

5、）!当插值节点非等距分布时，得到牛顿均差插值多项式：N“（兀）=/（无））+/［无（），无J（无一兀（））+・・・+/［兀0，・・・，兀」（兀一无））・・・（无一兀2_］）其中均差心八）一心，/%••’」Xj-x2x-xQ插值余项为：R*=f(X)~Nn(X)=/氏…暂］©+Q)程序代码：题目一(拉格朗日插值)代码如下：functionlag(x,y,xi)dxi=xi-x;n=length(x);L=zeros(size(y));L(1)=prod(dxi(2:n))/prod(x(1)-x(2:n));L(n)=prod(dxi(1:n-1))/prod(x(n)-x(

6、1:n-1));forj=2:n-lnum=prod(dxi(l:j-1))*prod(dxi(j+1:n));den=prod(x(j)-x(l:j-l))*prod(x(j)-x(j+l:n));L(j)二num/den;endyi=sum(y.*L);fprintf(,x=%f,y=%f,xi,yi);题目二(牛顿均差插值)代码如下：functionlf,PJ=junchachazhi(x,y,z)/x、y分别为已知数据和对应函数值，z为待求数据，f为均差表，P为函数值/n=size(x,2);f=zeros(n-l,n-l);k=l;fori=l:n-l/得出均差表

7、/forj=k:n-lifi==lf(j,i)=(y(j+l)・y(j))/(x(j+l)・x(j));elsef(j,i)=(f(j,i・1,i-1))/(x(j+1)・x(j・k+1))；endendk=k+l;endP=y(l);/以下代码为计算多项式函数P(x)的值/k=l;fori=1:3/插值次数此处为3次插值/forj=l:kd=d*(z-x①)；endk=k+l;P=P+d;end三、实验过程中需要记录的实验数据表格题目一计算结果(1)»x二[0.300.420.500.580.660.72];»y