教案--20111105-4总结课：不等式的证明

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1、尚师教育教师教案课题高1数学总结之不等式（2）:均值（基础）不等式授课时间年月日星期时分・••…时分教师王鹏兴学生年级高1学科数学作业完成情况教学内容基础不等式及其应用教学目标利用基本不等式解决最值问题教学重点基础不等式的应用教学难点基础不等式的应用新课内容—、知识回顾：1、知识点回顾：2、典型例题:兀2—r4-4函数厂在X>1的条件下的最小值为为多少？此时X为多少？X二、本节知识：不等式的证明方法：1、回顾：比较法：比较法最普遍，包括作差法（差值比较）和作商法（商值比较）例题1:分别用作差法与作商法证明：b_CT、,1>a+b若a>b>0,求证：ab证明：（1）作差法：（2）作商法例题2：

2、证明不等式a?+戸方法一：方法二:例题3：若a>b>0,求证：>ahb(,总结:作差法与作商法2、综合法与分析法已知a>0,b>0,求证:b+ab2分析由不等式变形即得4(/+/A)n(a+b)［即得a^b3>a证法要证2即证4（/+戻）n（a+=a3+3a2b+3ab2+b3即证R+/?3>a2b-}~ab2艮卩证（g+"）（口2-cib+b2）>ab{a+b）Va>0,b>0a+b>0,・•・即证/一"+b2Aab,即证（G-b）~nO,显然成立。2>ah以上各步均可逆，所以原不等式成立。证法二由（Q—by,^a2-2ah+b2>0,a2-ah+hVa>0,b>0a+b>0,•（a+b）

3、（a2-ab+b2）>ab（a+b）••■•a3+/?3>a2b+ab23夕+3b‘>3a2b+3ab2••9・4a3+4b3>tz3+3a2b+3ab2+ft3=(tz+ft)3••，a3+b‘>(a+b)'/.2"8.夕+戻・・・2o+b)3~rj总结（i）本题是分析法和综合法结合运用的典型，通过分析法发现寻求证题思路，运用综合法写出证题过程，自然流畅。3、关于均值不等式法（公式法）均值不等式法就是运用均值不等式来证明有关不等式，其关键在于善于发现题目的结构和条件与均值不等式相似（相同）本质特征，常用的公式有：a2+/?2>2ab・9a+h>(a,bwR十).ab

4、/?2+c2>ab+be+ca.3(ab+be+ca)<(a+b+c)2<3(a2+b2+c2)例题5：已知a、b、尺，且a+b+c=l。（—1）•（—1）•（—1）n8求证：（1）abc（2）+yfh+-J~CWyfi4、放缩法:通过对不等式舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明不等式成立的方法叫放缩法，放缩不等式的常用方法有：舍去或添加一些项；将分子或分母放大（或缩小）；利用已有结论，运用放缩法要注意放缩必须适度，防止放得过大或缩得过小。例6：设a、b、c、deR+abeds=111令a+d+bb+c+ac+d+bd+a+c求证：l

5、7已知/(兀)=广+似+化求证：

6、f(1)

7、f(2)l，

8、f(3)冲至少有一个不小于2。分析本题可以从结论的否定入手，运用反证法。丄05

9、/(I)

10、<-证明假设：

11、f(1)

12、,

13、f(2)I,

14、f(3)

15、都小于2,即2,0<

16、/(2)

17、<

18、0<

19、/(3)

20、<

21、,一7(l)=l+d+b,

22、/(I)-2/⑵+兀3)

23、<

24、/(I)

25、+2

26、/(2)

27、+

28、/(3)

29、v丄+2X丄+亠2222即2<2,不可能。假设不成立。・・・

30、f(1)I，

31、f(2)I，

32、f(3)

33、中至少有一个不小于2。点评反证法适宜证明“存在性问题

34、，惟一性问题，带有'至少一个'或，至多'等字样的问题"等数学问题。6、构造函数法1<例如：证明2x2+兀+1,3x2+x+l/+1一3,可转化为求函数〉—F+1的值域:例8设0

35、z—yz=1—(1—y)(1—z)