概率论与数理统计小结

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1、概率论与数理统计小结第一章 随机事件及其概率§1.1随机事件概率论里所研究的试验具有下列特点：（1）在相同的条件下试验可以重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果；（3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果。（一）随机事件的概念在概率论中，将试验的结果称为事件。　　每次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件（或偶然事件），简称为事件。这种不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件称为基本事件。每次试验中一定发生的事件称为必然事件，用符号表示，每次试验中一定不发生

2、的事件称为不可能事件，用符号表示。（三）事件间的关系及其运算　　　1、事件的包含　　　2、事件的相等　　　3、事件的并（和）　　　4、事件的交（积）　　　5、事件的差　　　6、互不相容事件　　如果事件与不能同时发生，即，称事件与互不相容（或称互斥）。互不相容事件与没有公共的样本点。　　　7、对立事件　　事件“非”称为的对立事件（或逆事件）。它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合。记作　 　　　8、完备事件组　　若事件为两两互不相容的事件，并且称构成一个完备事件组。§1.2概率（一）概率的统计定义定义1.1 在不变的条件下，重复进行次试验，事件发生的频

3、率稳定地在某一常数附近摆动。且一般说来，越大，摆动幅度越小，则称常数为事件的概率，记作。（二）概率的古典定义定义1.2 若试验结果一共由个基本事件组成，并且这些事件的出现具有相同的可能性，而事件由其中某个基本事件组成，则事件的概率可以用下式计算：　　　　　　　　（其中：有利于的基本事件数，：试验的基本事件总数）这里构成一个等概完备事件组。§1.3概率的加法法则　　加法法则 两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和。即当时，　　　         (1.2)实际上，只要式就成立。§1.4条件概率与乘法法则（一）条件概率 定义1.3  在事件已经发生的条件下，事件

4、发生的概率，称为事件在给定下的条件概率，简称为对的条件概率，记作。相应地，把称为无条件概率。（二）乘法法则乘法法则 两个事件之交的概率等于其中任一个事件（其概率不为零）的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即              (1.10)§1.5独立试验概型（一）事件的独立性定义1.4 如果事件发生的可能性不受事件发生与否的影响，即，则称事件对于事件独立。显然，若对于独立，则对于也一定独立，称事件与事件相互独立。定义1.5 如果个事件中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，则称相互独立。第二章 随机变量及其

5、分布§2.1随机变量的概念随机变量是建立在随机事件基础上的一个概念。既然事件发生的可能性对应于一定的概率，那么随机变量也以一定的概率取各种可能值。按其取值情况可以把随机变量分为两类：（1）离散型随机变量可能取有限个或无限可列个值；（2）非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。本书只研究离散型及连续型随机变量两种。§2.2 随机变量的分布（一）离散型随机变量的分布定义2.1如果随机变量只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称为离散型随机变量。（二）随机变量的分布函数 定义2.2 若是一个随机变量（可以是

6、离散型的，也可以是非离散型的），对任何实数，令             　　　称是随机变量的分布函数。分布函数具有下面几个性质：(1)，对一切成立；(2)是的不减函数；(3)(4)至多有可列个间数点，而在其间断点上也右连续的。（三）连续型随机变量的分布定义2.3 对于任何实数，如果随机变量的分布函数可以写成　　　　其中，则称为连续型随机变量。称为的概率分布密度函数，也常写为。它具有下列两个最基本的性质：第三章 随机变量的数字特征§3.1数学期望定义3.1 离散型随机变量有概率函数：,若级数绝对收敛，则称这级数为的数学期望，简称期望或均值。记为，即 　　　　 

7、 定义3.2 设连续型随机变量有概率密度，若积分绝对收敛，则     　　　         称为的数学期望。§3.2 数学期望的性质（1）常量的期望就是这个常量本身，即。（2）随机变量与常量之和的数学期望等于的期望与这个常量的和。（3）常量与随机变量乘积的期望等于这个常量与随机变量期望的乘积。（4）随机变量线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数。（5）两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量数学期望的和。 (6)两个相互独立随机变量乘积的数学期望等于它们数学期望的乘积,即　　　　　　　          (3.5)§3.4 方差（一）方差

8、的概念定义3.4  随机变量离差平方的数学期望，称为