《概率论与数学统计》总结复习

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1、第一章　随机事件与概率1．贯穿本章的基本概念可总结为三个方面：1）随机试验，随机事件及基本事件，样本空间及样本点；2）事件关系及其运算，对偶法则与互不相容分解（）；3）概率的概念及性质，古典概型。2．关于概率计算，首先要熟练运用古典概率计算公式及排列组合公式直接解题，其次要紧扣题设条件、选择适当公式、正确完成计算.计算公式汇集如下：1)逆事件概率公式：。注1：当直接计算A时问题较为复杂，难以计算，可考虑用逆事件概率公式进行简化。注2：题目中出现“至少”，首先考虑是否可用逆事件概率进行计算；如果不可行，再利用加法公式。2）加法公式：　。若A1，A2，…，An

2、是相互独立事件，则　　　　　　　.3）减法公式：。强调：利用概率的性质进行计算时，首先画出事件的文氏图，把概率的计算当做是图形面积的计算，可以得到正确的结果。第二章　条件概率与独立性1．贯穿本章的基本概念可总结为两个方面：1）条件概率及其三个应用；2）事件的独立性。2．关于条件概率，首先要熟练掌握定义：。注：题目出现条件概率，首先考虑按照定义展开。3.对于条件概率，用三个重要的应用：1）乘法公式：；一般情形：。注：应用场合：n个事件的发生有着明显的先后顺序，考虑n个事件同时发生的概率时可使用乘法公式。但一般情形的乘法公式不是经常用到。2）全概率公式：设B1

3、,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分，如果P(Bi)＞0,i＝1,2,…,n,则对Ω中的任一事件A,有。注：应用场合：问题有明显的时间先后顺序，考虑后一步发生的概率，应考虑使用全概率公式，划分的选取由前一步决定。3）贝叶斯公式：。注：应用场合：贝叶斯公式是全概率公式的后续问题，它求解的是已知结果出现，考虑原因的条件概率，做题时应注意。强调：这些公式有特定的应用场合，做题时先分析清楚是否需要使用，应该如何使用！4．关于事件的独立性，掌握两个事件和三个事件独立性的定义。注1：事件的独立性与事件的互不相容是两个完全不同的概念，要注意区分。注2：做题时一定要看清

4、楚A和B是否相互独立。第三章　一维随机变量及其分布1．本章概念多，抽象性强.从应用需要看，要理解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布列、分布密度、分布函数、随机变量函数的概念，特别要掌握描述随机变量取值概率规律的分布.2.关于分布函数：1）定义：。注：分布函数的定义域为全体实数。2）性质：单调不减；；右连续性。3）利用分布函数计算事件的概率：。4）特殊情形下的分布函数：若X为离散型随机变量，则X的分布函数F(x)是分段阶梯函数,在X的可能取值xk处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度pk；若X为连续型随机变量，则，要能正确地确定积

5、分上下限进行计算。3．关于离散型随机变量，一切问题的处理都依赖于分布律，内容相对简单。4．关于连续型随机变量，一切问题的处理都依赖于概率密度f(x)。注：重要的计算公式：（用于求未知参数的值）；。5．熟练掌握常用的三种离散型随机变量和三种连续型随机变量：X01P1-pp1）两点分布：2）二项分布：在n次独立重复试验中，X表示n次试验中事件A发生的次数，，（k＝0，1，2，…，n），记为B(n，p).注：要注意二项分布的应用背景，题目中出现“发生的次数”，应联想到二项分布。3）泊松分布：，（k＝1，2，…），简记为P(λ).注：题目中出现“k!”，应联想到泊

6、松分布。4）均匀分布：在区间[a,b]上随机地取一个数，X表示数的坐标，则X的概率密度为　　简记为U[a,b].5）指数分布:简记为EP(λ)。注：题目中出现“e-λx”，应联想到指数分布。6）正态分布：，简记为.特别地，标准正态分布N(0,1)，密度函数用φ(x)表示，分布函数用Φ(x)表示。注1：题目中出现“e-ax2+bx+c”，应联想到正态分布。注2：正态分布的密度函数关于“x=μ”对称，有些题目可以根据对称性求解。注3：正态分布相关事件概率的计算：“标准化”。注4：重要结论：。6．关于随机变量函数的分布，方法比较固定，大家可以看课件或者作业题，这

7、里不再详述。第四章　多维随机变量及其分布1.多维随机变量是由两个以上随机变量构成，其概率特性不仅决定于各个分量，同时也与这些随机变量的联合特征有关，这是处理多维随机变量在方法上要更为复杂的原因.2.本章很多定义是一维情形的推广，所以在这一章的学习中，要掌握相应的计算公式并能正确地进行计算。重要计算公式总结如下：3.关于离散型随机变量，掌握住联合分布律的表格：注：判断离散型随机变量X和Y的独立性，即验证联合分布律是否为边缘分布律的乘积。4.关于连续型随机变量，重要计算公式：(用于求未知参数的值)；，（一定要能正确确定积分上下限）；（是否成立用于判断X和Y是否

8、相互独立）。5.两个常见分布：二维均匀分布：二维正态分布的常见性质