高斯散度定理中期报告

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1、科研中期报告课题名称：高斯散度定理及其应用小组成员：南京理工大学数学与应用数学系组长申炜912108260125组员姬杰912107820138指导老师：刘芳散度一、定义散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当divF>0，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当divF<0表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当divF=0，表示该点无源。对于一个矢量场而言，散度有两种不同的定义方式。第一种定义方式和坐标系无关：divF=limV→01V∂VF∙dS第二种定义方式则是在直角坐

2、标系下进行的：divF=∇∙F=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z可以证明，在极限存在的情况下，两种定义是等价的。因此也常直接用代表 的散度。由散度的定义可知，表示在某点处的单位体积内散发出来的矢量 的通量，所以描述了通量源的密度。举例来说，假设将太空中各个点的热辐射强度向量看做一个向量场，那么某个热辐射源（比如太阳）周边的热辐射强度向量都指向外，说明太阳是不断产生新的热辐射的源头，其散度大于零。从定义中还可以看出，散度是向量场的一种强度性质，就如同密度、浓度、温度一样，它对应的广延性质是一个封闭区域表面的通量。二、运算法则∇∙aF+

3、bG=a∇∙F+b∇∙G(a,b为常数)(线性运算)∇∙φF=∇φ∙F+φ∇∙F ( 为标量场)∇∙F×G=∇×F∙G-(∇×G)∙F∇∙∇×F=0(旋度场无源)高斯散度定理一、定义既然向量场某一处的散度是向量场在该处附近通量的体密度，那么对某一个体积内的散度进行积分，就应该得到这个体积内的总通量。可以证明这个推论是正确的，称为高斯(Gauss)散度定理，或高斯公式。其用数学语言表示为：V∇∙FdV=SF∙dS高斯公式说明，如果在体积内的向量场拥有散度，那么散度的体积分等于向量场在的表面的面积分。下面给出不同表示方式下的高斯散度定理设

4、空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv=ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy或Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv=Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦用散度表示高斯公式用散度表示为：ΩdivAdv=ΣAndS其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而An=A∙n=Pcosα+Qcosβ+Rcosγn是向量

5、A在曲面Σ的外侧法向量上的投影。用向量表示令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，是定义在V中和S上连续可微的矢量场。如果dS是外法向矢量面元，则Sf∙dS=V∇∙fdV根据散度的运算法则有如下推论·对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：VF∙∇g+g∇∙FdV=∂VgF∙dS·对于两个向量场的向量积，应用高斯公式可得：VG∙∇×F-F∙∇×GdV=∂V(F×G)∙dS·对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：V∇fdV=∂VfdS·对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：V∇×FdV=∂VdS×F二、例

6、子假设我们想要计算SF∙ndS,其中S是由x2+y2+z2=1所定义的单位球，F是向量场F=2xi+y2j+z2k直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：SF∙ndS=W∇∙FdV=2W(1+y+z)dV=2WdV+2WydV+WzdV由于函数和是奇函数，我们有：WydV=WzdV=0因此：SF∙ndS=2WdV=8π3三、应用电磁学、电动力学中静电场的散度不为零、旋度为零，是有源无旋场。静磁场的散度为零、旋度不为零，是有旋无源场。气象学中散度可以表示流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为

7、辐合，运动中发散的区域为辐散。散度值为负时为辐合，此时有利于气旋等对流天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于反气旋等天气系统的发展。往往，气象学中应用最多的是风速的“水平散度”。水平散度的表达式是：其中u是x轴方向的风速大小，v是y轴方向的风速大小。一般来说，x轴表示纬圈切线方向(自西向东为正)，y轴表示经圈切线方向(自南向北为正)。流体力学散度等于零的矢量场称为无源场或管形场。流体力学中，散度为零的流体称为不可压缩流体，也就是说此流体中不会有一部分凭空消失或突然产生，每个微小时间间隔中流入一个微小体元的流体总量都等于在此时间

8、间隔内流出此体元的流体总量。[3] 对于可压缩的流体，有下述方程成立：