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1、微分方程数值解报告三迎风格式和Lax-Friedrichs格式求解微分方程一、引言双曲型方程差分格式的性质和定解问题解析解的性质之间有着密切的联系，由于其对初值的局部依赖关系和特征关系是其他两类方程所没有的，其初值函数的一些性质也会沿特征线传播，从而使解不具有光滑性质，在构造双曲型方程的差分格式时应充分考虑这些特性，下面江将用两种常见格式求解一个简单的偏微分方程。二、方法原理本题求解首先用到一阶迎风格式（UpwindScheme）其中定义：另外，为了克服中心差分格式的不稳定性，还有Lax-Friedrichs格式：三、求解问题四、编程设计和方法分析考虑网格参数：接下来我
2、们按照迎风格式和Lax-Friedrichs格式分别对方程进行离散处理迎风格式：Lax-Fredrichs格式为：迎风格式代码：%迎风格式 clearallcloseallclc%设置计算网格的参数 L=1.0;%计算区域的长度T=0.5;%计算的时间长度dx=0.01;dt=0.005;x=-L:dx:L;t=0:dt:T;xn=size(x,2)-1;%网格段的个数tn=size(t,2)-1;%时间段的个数u=zeros(tn+1,xn+1);%设置初始条件 forxi=1:xn+1 if(x(xi)<=0) u(1,xi)=1;%x<=0时,
3、uo(x)=1 else u(1,xi)=0;%x>0时,uo(x)=0 endend%在计算开始前，将中间的网格点的值设为零 fori=2:xn u(i,1)=1;%将中间的网格点的值设置为0endforti=1:tn forj=2:xn u(ti+1,j)=dt*u(ti,j-1)/dx+(1.0-dt/dx)*u(ti,j); endend%绘制计算结果 fori=2:30:92 subplot(2,2,1+(i-2)/30); plot(x,u(i,:)); str=num2str(t(
4、i),'T=%f'); xlabel(str); str=num2str(i,'u(%d,x)'); ylabel(str);endLax-Friedrichs格式代码2%Lax-Friedrichs格式clearallcloseallclc %设置计算网格的参数 L=1.0;%计算区域的长度T=0.8;%计算的时间长度dx=0.01;%网格尺寸dt=0.005;%时间步长miu=1;x=-L:dx:L;t=0:dt:T;xn=size(x,2)-1;%x的分段数tn=size(t,2)-1;%时间的分段数u=zeros(tn+1,xn+1);%u的上
5、标为时间标号,下标为坐标标号%设置初始条件 forxi=1:xn+1 if(x(xi)<=0) u(1,xi)=1;%x<=0时,uo(x)=1 else u(1,xi)=0;%x>0时,uo(x)=0 endendfori=2:xn u(i,1)=1;endforti=1:tn forj=2:xn u(ti+1,j)=0.5*(1-dt/dx)*u(ti,j+1)+0.5*(1+dt/dx)*u(ti,j-1); endend%绘制计算结果 fori=2:30:92 subplot(2
6、,2,1+(i-2)/30); plot(x,u(i,:)); str=num2str(t(i),'T=%.4f'); xlabel(str); str=num2str(i,'u(%d,x)'); ylabel(str);end
