(6)13.2自回归过程ar(p)

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1、§13.2自回归过程AR(p)如果预测是分析的目的，那么，随机过程的元素对它的过去的依赖性就很重要。这使我们能够利用已经收集的样本观测值的过去信息预测变量的未来值。存在这种依赖性的简单例子是自回归过程：yt=φyt-1+ut(13.2.1)便是这样一种过程，其中ut为白噪声。时间序列y1，y2，…，yn生成过程通常是未知的，它可能比简单自回归过程(13.2.1)更复杂，例如,yt不仅依赖yt-1，而且还依赖于yt-2等。更一般地，这个过程有以下形式：(13.2.2)其中ut为白噪声，(13.2.2)称为p阶自回归(Autoregressive)过程，记作AR(p)。

2、据此，(13.2.1)便是一阶自回归过程AR(1)。一、自回归过程的平稳条件只有产生时间序列的随机过程是平稳的，用自回归模型进行预测才有意义。因此，我们首先应研究自回归过程的平稳条件。(一)一阶自回归过程对于一阶自回归过程(13.2.1)yt=φyt-1+ut=ut+φ(φyt-2+ut-1)=ut+φut-1+φ2(φyt-3+ut-2)=ut+φut-1+φ2ut-2+φ3yt-3………=ut+φut-1+φ2ut-2+φ3ut-3+…(13.2.3)可以看到，一阶自回归过程(13.2.1)可以表示成白噪声序列的线性组合。由于E(ut)=0，所以E(yt)=0，平稳

3、条件1显然满足。对(13.2.3)两端取方差：V(yt)=(13.2.4)仅当

4、φ

5、＜1时，(13.2.4)才有(13.2.5)表明，只有当

6、φ

7、＜1时，平稳条件2才成立。由(13.2.3)有(13.2.3)′(13.2.6)当

8、φ

9、＜1时，(10.2.6)便有(10.2.7)其中。(10.2.7)式表明，仅与间隔时期数k有关，而与时间点t无关，平稳条件3成立。综上所述，对于一阶自回归过程(10.2.1)，只要系数φ的绝对值｜φ｜＜1，便是平稳过程。(二)p阶自回归过程将(13.2.2)改写成(13.2.8)引进算符多项式：(13.2.9)则(

10、13.2.8)可改写成：或(13.2.10)若(13.2.2)是平稳随机过程，则必定收敛，即yt可表示为白噪声的无穷加权和。可以证明，收敛的充要条件是算符多项式的特征方程(13.2.11)的根全部在复平面上单位圆周之外，或所有根的模｜z｜＞1。即p阶自回归过程的平稳条件为(13.2.12)z1和z2分别为实部和虚部。当p=1时，(13.2.11)写成1-φz=0解方程得，则平稳条件：即｜φ｜＜1同前面的结论相同。为了研究方便，如果不作特殊说明，本章总是假定：1.所有自回归过程都是平稳过程。当发现时间序列是非平稳的，要清除非平稳性，一般采用差分

11、法。只要对原始数据进行适当阶数的差分处理，便可消除非平稳性。2.自回归过程中每个元素的期望值都为0即E(yt)=0。如果实际的时间序列的均值,则可对它进行中心化，中心化后的时间序列必然有零期望值。二、自回归过程的自相关函数一阶自回归过程AR(1)的自相关函数，利用(13.2.7)可直接写出(13.2.13)AR(p)的自相关函数由于(13.2.14)将(10.2.2)代入(10.2.14)得(10.2.15)当k=0时，(13.2.16)对AR(1)便有(13.2.17)再由(10.2.15)有(13.2.18)把(10.2.18)代入(10.2.

12、17)整理得(13.2.19)此结果与(10.2.5)相同。用除(10.2.15)式两端，得(13.2.20)(10.2.20)便是自回归过程AR(p)自相关函数的表达式(也称递推公式)。在自相关函数表达式(10.2.20)中，令k=1,2,3,…，p,则得一组方程式，称之为尤拉-沃克（Yule-Walker）方程：ρ1=φ1+φ2ρ1+φ3ρ2+…+φpρp-1ρ2=φ1ρ1+φ2+φ3ρ1+…+φpρp-2ρ3=φ1ρ2+φ2ρ1+φ3+…+φpρp-3………ρp=φ1ρp-1+φ2ρp-2+φ3ρp-3+…+φp(13.2.21)其矩阵表达式为：(13.2.

13、22)简记为或(13.2.23)Φp中最后一个参数φp称为偏自相关系数，序列{φp}(p=1,2，3，…)称为偏自相关函数。(10.2.20)式表示，当自回归模型的阶为p时，则偏自相关函数φp+1及其后的φ值皆为零。例如，当自回归模型的阶数为2时，则φ3及其后的φ值皆为零。三、自回归过程AR(p)的识别与估计对于自回归模型(13.2.2)(13.2.2)t=p+1,p+2,…,n矩阵形式为(13.2.2)ˊ其中(一)自回归阶数p已知的情况我们可以将(1