解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性3学时

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1、陇东学院数学系常微分方程精品课程教案第四讲解对初值的连续依赖性和解对初值的可微性（3学时）教学目的：讨论解对初值的连续依赖性与可微性定理，了解对参数的连续性定理教学要求：理解解对初值的连续依赖性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条件。教学重点：解对初值的连续依赖性与可微性定理.教学难点：解对参数的连续依赖性定理的证明思想教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。教学过程：直到现在,我们都是把初值看成固定的值,然后再研究初值问题(4.1)

2、的解.当满足解的存在唯一定理和延拓定理时,(4.1)存在唯一解,这个解是自变量x的函数，从几何上说，通过点()的微分曲线有且一条，当初值和变更时，对应解一般来说也要跟着变,所以(4.1)的解也应是,的函数，方程的解为，它虽然是所有变量的函数，也即(4.1)的解不仅依赖于自变量，而且也依赖于初值()，因此，考虑初值变化，解可以看作三个变量的函数.记为它满足.现在提出一个应用上很重要问题。当初值发生变化时，对应解是怎样变化的？应用上需要，当初值变化不大时，相应解也变化不大，这就是解对初值的连续性，其确定义为

3、5教案编写人:李相锋,李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定义2.5设初值问题的解在区间上存在，如果对，,使得对于满足的一切,初值问题（2.2）的解都在上存在,并且则称初值问题（2.2）的解在点连续依赖于初值.定理2.8(解对初值的连续依赖定理)设于在区域内连续，且关于变量满足局部Lipchitz条件.如果，初值问题（2.2）有解，且当时，，则对，存在，使对于满足的任意，初值问题（2.2）有解也在区间上有定义，且有证明（略）对给定，选取，使得闭区域U：,整个含在区域D内，这是能够做到的，因为区域D

4、是开的，且当时，，所以，只要选取足够小，以曲线为中线，宽为的带开域U就整个包含在区域D内，如图2-17所示.5教案编写人:李相锋,李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案图2-17选取满足其中N为李普希兹常数，，另外，还要保证闭正方形含于带形区域U的内部。　　由存在唯一性定理可知，对于任一，在的某领域上存在唯一解，且在尚有定义的区间上，有(2.20）另外，还有对上述两式作差并估值：由贝尔曼不等式，则有(2.21)5教案编写人:李相锋,李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案因此，只要在尚有定义的区间

5、上，就有(2.21)式成立.下面我们要证明：在区间上有定义，只证在区间上有定义，对区间可类似证明.因为解不能越过曲线及，但是，由解的延展定理，解可以延展到无限接近区域D的边界，于是，它在向右延展时必须由穿出区域U，从而必须在上有定义，定理证毕.例1考虑与2.2节例1类似的方程易知为解，为解，上半平面通解为,下半平面通解为.积分曲线大致如图2-18。图2-18可以看到，对于轴上的初值，在任意有限的闭区间上解对初值连续依赖，但是，在上，无论，如何接近，当充分大时，过的积分曲线就不能与过的积分曲线任意接近了。

6、这个例子说明，解在有限闭区间上对初值的连续依赖性不能推出解在无限区间上对初值的连续依赖性，讨论后一问题属于稳定性理论，我们将在第五章作简略的介绍.定理2.9(解对初值的可微性定理)若函数以及在区域内连续,则初值问题（2.2）的解作为,在它有定义的范围内有连续偏导数.并且有5教案编写人:李相锋,李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案及证明（略）5教案编写人:李相锋,李万军