i.平衡态统计物理

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1、I.平衡态统计物理第一章相变与临界现象第一节平衡判据和平衡条件对孤立系，判据为因为熵增加原理，平衡态的熵应当极大。假设体系和大热源接触，体系的T、V不变U为体系的内能，为体系吸收的热量由于V不变，∴＝0同理∴判据为由平衡判据可以导出平衡条件习题：导出T、P不变的平衡判据（1）热平衡条件将孤立系分为两部分内能为，温度为，各部分体积不变——即没有互相做功∵∴∵∴∴为热平衡条件——第0定律如，将发生热传导设∵∴即热量（能量）由高温部分流向低温部分（2）力学平衡条件习题（3）相平衡回顾特征函数内能焓自由能吉布斯函数都是广延量由特征

2、函数可以导出“所有”热力学性质记忆：从加减的项看替换的变量对多种粒子体系化学势为增加一个粒子带来的能量。例如，在T＝0时，理想气体费米子~是粒子数带来的能量变化。假设无外力场（如电磁、重力等），T、P不变，但存在两种粒子，处于不同的“相”。平衡判据为设，∴如果，粒子还会从一个相跑到另一个相，非平衡。选T、P为独立变量，相平衡条件为这在T－P图上体现为一条曲线，这样的T－P图称之为相图。例如，冰、水的化学势都与T、P有关，在这曲线上两相共存。T水冰P冰和水在“冰区域”接触，水会结冰，但记住，这时水处于“冰区域”的T、P之下。

3、如在“水区域”接触，冰处于“水区域”的T、P，冰会融化。体系在曲线上会发生相变。相变是物体宏观状态的一种突然变化，常常可用一个“序参数”的突变描述。l‘突然变化’必须定量化l‘宏观状态’或説‘序参数’会随着人们对自然界的认识不断改变。例如，‘序参数’可以是静态结构，统计涨落，也可以是动力学行为。在相变点，特征热力学函数奇异。相变的阶用特征热力学函数定义。例如，自由能F（T，V）为特征函数的体系不连续一级相变序参数不连续，两相共存、似稳态例如：水、冰不连续（连续）二级相变序参数一级导数不连续，统计涨落无穷大，普适标度行为例如

4、：铁磁系统如果是二级相变，水变冰的物理图像是：在时，出现冰状板块，板块会随时间变化，时而象水，时而象冰，板块在达到体系的尺度。……有时笼统称二级以上的相变为连续相变。¥级相变例如：Kosterlitz-Thouless相变自旋玻璃相变，类似于二级，但略有不同结构玻璃相变为什么研究相变？因为它刻划体系的特征。例如，研究材料学的，关心‘相’的性质，研究相变理论的，关心相变的准确位置尤其是相变点附近的行为特征。第二节Isingmodel代表晶格上原子的磁子，最简单情形假设只有两种取向，用描述。记最紧邻相互作用。(单位体积

5、)磁化强度M二级相变，准确解极困难TCT平均场近似近似计算的要点1．能算出来2．物理意义清楚，在极端情形下，应正确或大体正确。设d为空间维数l这一近似略去了相互作用，可准确计算l当d－>∞，或者在长程作用情形，趋向准确解自恰条件y(M)y=My=tanh(kdM)Y①②M0M∵自由能为极大值F为极小值，根据与大热源接触、不做功体系的相平衡条件所以，的任何一个是物理解∴在附近，体系有种种特征，如何描述？==0很小Þ很小∴=≈∴在＝1/处连续，但一阶导数不连续，因为~发散，是二级相变在＝1/处连续，这是合理的结果，（）比热第三

6、节临界指数与标度变换热力学参数大量的实验、理论和数值模拟研究表明，一般而言，在临界点附近，遵从幂次行为。这是一件高度非平庸的事情，为什么不是别的什么形式呢？对Ising模型~引入~~比热~~磁化率~一般而言，在平均场近似下∵~∴∵~~const∴∵∴∴~习题：、、、称为临界指数。实验表明，大量表面看似不同的体系其临界指数可以相同，临界指数把二级相变系统分为不同普适类。小结起来，宏观量的幂次行为是二级相变的重要特征之一，临界指数具有普适性，只由对称性（包括空间维数）和力程等物理因素决定。临界指数之间存在所谓的标度关系，只有确

7、定数目的指数试独立的。标度变换不变性单位体积自由能在相变点附近，自由能常规部分不重要假设为任意标度因子，a,b是常数。从物理上看，这是一种标度变换不变性，从数学上看，f是广义齐次函数。∴∴习题：计算、并给出其与、的关系。这些关系称为标度关系。换句话说，自由能的标度变换不变性假设，使得Ising模型只有两个独立的临界指数。小结l在临界点附近，物理量遵从幂次行为，临界指数具有普适性。l标度变换不变性可以导出幂次行为，还给出临界指数的标度关系，但是没有回答如何计算临界指数。问题：*如何导出标度不变性*如何计算临界指数*如何解释普

8、适性第四节实空间重整化群d维格点上的Ising模型在临界点附近，关联长度发散，或说涨落无穷大，所以格点的大小对大范围性质不重要。标度变换a格距自旋组成一个新的注意：越小。令应该具有如下性质l封闭性如果、而且l交换律l结合律l取为单位元但是,不存在逆元素∴的集合是“半群”。不动点∴∵∴∴显然一般的，记重整