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1、第24卷第6期滨州学院学报2008年12月Vol.24,No.6JournalofBinzhouUniversityDec.,2008基本初等矩阵与矩阵的分解刘静(滨州学院数学与信息科学系,山东滨州256603)摘要:给出基本初等矩阵的定义,得出任何方阵都可分解为有限个基本初等矩阵的乘积的结论.关键词:基本初等矩阵;矩阵;分解中图分类号:O151文献标识码:A文章编号:167322618(2008)06200572030引言矩阵的初等变换在高等代数和线性代数中都有着十分重要的应用.矩阵的初等变换有3种类型,对应于3种初等变换有3种初等矩阵,它们分别是:(i)互换第i行(列)与第j
2、行(列),其对应的初等矩阵记为P(i,j);(ii)第i行(列)乘以非零常数c,其对应的初等矩阵为P(i(c));(iii)第j行(i列)的k倍加到第i行(j列)上(i≠j),其对应的初等矩阵为P(i,j(k)).由初等矩阵的性质,文献[1]给出了许多关于可逆矩阵分解的定理.本文给出了基本初等矩阵的定义,使得每一个初等矩阵都可表示为有限个基本初等矩阵的乘积,这样矩阵的分解就可推广到任意方阵.1主要结果1.1基本初等矩阵的定义定义1把矩阵第j行(i列)的k倍加到第i行(j列)上,称为对矩阵施行了一次基本初等行(列)变换.这里允许i=j,k为任意数.定义2把单位矩阵第j行(i列)的k
3、倍加到第i行(j列)上,所得到的矩阵称为基本初等矩阵,记作P(i,j(k)).这里允许i=j,k为任意数.1.2基本初等矩阵的性质由基本初等矩阵的定义可知,基本初等矩阵不一定可逆,这是基本初等矩阵与初等矩阵的不同之处.性质1除P(i,i(-1))外,其余的基本初等矩阵均可逆.证明由初等矩阵的性质知,当i≠j时,P(i,j(k))可逆;当i=j,P(i,j(k))=P(i,i(k)),此时,
4、P(i,j(k))
5、=
6、P(i,i(k))
7、=k+1,所以,当k≠-1时,P(i,i(k))可逆.故除P(i,i(-1))外,其余的基本初等矩阵均可逆.性质2对任意一个m×n矩阵A,左乘一个m
8、阶基本初等矩阵,就相当于对A施行了一次相应的基本初等行变换;右乘一个n阶基本初等矩阵,就相当于对A施行了一次相应的基本初等列变换.证明设所乘的基本初等矩阵是P(i,j(k)).收稿日期:2008203214基金项目:滨州学院基金资助项目(BZXYKJ0805)作者简介:刘静(1967—),女,山东邹平人,副教授,主要从事代数学理论研究.58滨州学院学报第24卷(1)若i≠j,则由初等矩阵的性质知,结论成立;(2)若i=j,但k≠-1,此时P(i,j(k))=P(i,i(k))=P(i(k+1)),由初等矩阵的性质知,结论成立;(3)若i=j,且k=-1,此时P(i,j(k))=P
9、(i,i(-1))不可逆.只看行变换的情形,列变换的情形可同样证明.1a11⋯a1na11⋯a1nw…………P(i,i(-1))A=0ai1⋯ain=0⋯0,w…………1am1⋯amnam1⋯amn这相当于把矩阵A的第i行的-1倍加到了第i行上.这就完全证明了性质2.1.3矩阵的分解[1]引理1n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A能表示成一些初等矩阵的乘积.[1]引理2对任意一个m×n矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得PAQ=ErO,其中r为矩阵A的秩.OOm×n定理1每个初等矩阵均可表示成一些基本初等矩阵的乘积.证明因为P(i,j)=P(i,j(1))P(j,i(-
10、1))P(i,j(1))P(i,i(-2))E=P(i,j(1))P(j,i(-1))P(i,j(1))P(i,i(-2)),P(i(c))=P(i,i(c-1))E=P(i,i(c-1)),P(i,j(k))=P(i,j(k))E=P(i,j(k)).所以每个初等矩阵均可表示成一些基本初等矩阵的乘积.定理2任意n阶矩阵A都可以分解为一些基本初等矩阵的乘积,且不可逆基本初等矩阵的个数为m=n-r,其中r表示矩阵A的秩.证明第1种情况:矩阵A可逆.由引理1和定理1立即可以得到.第2种情况:矩阵A不可逆.由引理2知,存在n阶可逆矩阵P,Q,使得ErOA=PQOO成立,其中r为矩阵A的
11、秩.由第一种情况知,P,Q均可分解成一些基本初等矩阵的乘积,而ErO=P(r+1,(r+1)(-1))P(r+2,(r+2)(-1))⋯P(n,n(-1))OO是n-r个不可逆基本初等矩阵的乘积,所以A可分解成一些基本初等矩阵的乘积,且不可逆基本初等矩阵的个数为m=n-r.综合以上两种情况可得,任意n阶矩阵A都可以分解为若干个基本初等矩阵的乘积.1.4基本初等矩阵的应用举例[2]例1证明n阶可逆矩阵A经基本初等变换可化为如下形式diag{1,1,⋯,
12、A
13、}.证明设A=(aij)
