2019年高考数学一轮复习课时分层训练29等比数列及其前n项和文北师大版20180410496

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1、课时分层训练(二十九)　等比数列及其前n项和A组　基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)A．a1，a3，a9成等比数列　　　　B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列D　[由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D．]2．(2018·三湘名校联盟模拟)在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加

2、增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增)根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有(　　)【导学号：00090171】A．3盏灯B．192盏灯C．195盏灯D．200盏灯C　[由题意设顶层的灯盏数为a1，则有S7＝＝381，解得a1＝3，∴a7＝a1×26＝3×26＝192，∴a1＋a7＝195.故选C．]3．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)A．－3B．－1C．1　　　　　D．3D　[两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3，即q＝3.]4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{

3、an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)A．2B．1C．D．C　[法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C．5法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝，故选C．]5．(2017·合肥二次质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，则下列说法正确的是(　　)A．{an}是单

4、调递减数列B．{Sn}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列C　[设等比数列{an}的公比为q，则a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因为a2＝12，所以q4＝，则q2＝，所以数列{a2n}是首项为12，公比为的等比数列，则数列{a2n}为单调递减数列，故选C．]二、填空题6．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝__________.1　[∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.]7．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4

5、，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.1　121　[∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，∴数列是公比为3的等比数列，∴＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋＝×34＝×34＝，∴S5＝121.]58．(2017·深圳二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后

6、每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．【导学号：00090172】2n－＋1　[依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]三、解答题9．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3

7、＝21，求S3.[解]　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.1分由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①2分(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得(舍去)，5分因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.7分(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.10分当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.11分当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.12分10．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋

8、1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列．[解]　(1)当n＝2时